Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- Besaran klaim untuk suatu pemegang polis diketahui mengikuti distribusi mixed exponential dengan fungsi peluang \(f\left( x \right) = 0,8\lambda {e^{ – \lambda x}} + 0,4\lambda {e^{ – 2\lambda x}},x > 0\)
- Distribusi prior dari \(\lambda \) ialah Gamma dengan \(\alpha = 4\) dan \({\theta }\) = 0,005
Menggunakan analisis Bayesian, tentukan ekspetasi besaran klaim untuk klaim selanjutnya dari pemegang polis yang sebelumnya pernah mengajukan klaim sebesar 1.000. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati)
- 200
- 225
- 250
- 275
- 300
| Diketahui |
- Besaran klaim untuk suatu pemegang polis diketahui mengikuti distribusi mixed exponential dengan fungsi peluang \(f\left( x \right) = 0,8\lambda {e^{ – \lambda x}} + 0,4\lambda {e^{ – 2\lambda x}},x > 0\)
- Distribusi prior dari \(\lambda \) ialah Gamma dengan \(\alpha = 4\) dan \({\theta }\) = 0,005
|
| Rumus yang digunakan |
Eksponensial: \(E\left[ X \right] = \theta = \frac{1}{\lambda }\)
Bayesian Credibility Eksponensial/Inverse Gamma
\({P_C} = \frac{{{\beta _*}}}{{{\alpha _*} – 1}} = \frac{{\beta + n\bar x}}{{\alpha + n – 1}} = \left( {\frac{{\alpha – 1}}{{\alpha + n – 1}}} \right) \cdot \left( {\frac{\beta }{{\alpha – 1}}} \right) + \left( {\frac{n}{{\alpha + n – 1}}} \right)\bar x\) dengan \(\beta = \frac{1}{\theta }\) jika diketahui \(\theta \) pada distribusi Gamma |
| Proses pengerjaan |
\(f\left( x \right) = 0.8\lambda {e^{ – \lambda x}} + 0.4\lambda {e^{ – 2\lambda x}} = 0.8\left( {\lambda {e^{ – \lambda x}}} \right) + 0.2\left( {2\lambda {e^{ – 2\lambda x}}} \right)\) diperoleh \(E\left[ X \right] = 0.8\left( {\frac{1}{\lambda }} \right) + 0.2\left( {\frac{1}{{2\lambda }}} \right) = 0.8\theta + 0.2\left( {\frac{\theta }{2}} \right) = 0.9\theta \) dan \(\beta = \frac{1}{\theta } = \frac{1}{{0.005}} = 200\)
Sehingga,
\({P_C} = 0.9\frac{{\beta + n\bar x}}{{\alpha + n – 1}} = 0.9\left( {\frac{{200 + 1,000}}{{4 + 1 – 1}}} \right) = 270\) |
| Jawaban |
d. 275 |
pak Fery, dari mana theta 0.005 ?
Halo ka, mohon maaf ada sedikit kesalahan. Theta 0,005 sebenarnya sudah diketahui di dalam soal. Pembahasan tersebut telah kami revisi. Terima kasih.