Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- Kerugian pada sebuah pertanggungan asuransi mengikuti sebuah distribusi lognormal dengan parameter \(\mu \) = \(\Theta \) dan \(\sigma \) = 2.
- \(\Theta \) bervariasi antar pemegang polis sesuai dengan distribusi normal dengan rata- rata 5 dan variansi
- Seorang pemegang polis melakukan klaim kerugian sebanyak 20 kali. Rata-rata klaim sebesar 10.000.
Tentukan prediksi Buhlmann terhadap besarnya klaim untuk klaim berikutnya dari pemegang polis tersebut.
- 6.200
- 7.100
- 7.500
- 7.900
- 8.700
| Diketahui | \(X|\Theta \sim LN(\mu = \Theta ,{\sigma ^2} = {2^2})\) |
| Rumus yang digunakan | \(\mu (\theta ){\rm{ }} = E(X|\theta )\) \(v(\theta ){\rm{ }} = Var(X|\theta )\) \(\mu = E(\mu (\Theta ))\) \(v = E(v(\Theta ))\) \(a = Var(\mu (\Theta ))\) \(k = \frac{v}{a}\) \(Z = \frac{n}{{n + \frac{v}{a}}}\) |
| Proses pengerjaan | \(\mu (\theta ){\rm{ }} = E(X|\theta )\)
\(\mu (\theta ) = exp(\theta + {\sigma ^2}/2){\rm{ }} = exp(\theta + 2)\)
\(v(\theta ){\rm{ }} = Var(X|\theta )\)
\(v(\theta ){\rm{ }} = [exp({\sigma ^2}) – 1]exp(2\theta + {\sigma ^2})\)
\(v(\theta ){\rm{ }} = [{e^4} – 1]exp(2\theta + 4){\rm{ }} = {e^{2\theta }}[{e^8} – {e^4}]\)\(\mu = E(\mu (\Theta )){\rm{ }} = E({e^{\Theta + 2}}){\rm{ }} = {e^2}E({e^\Theta }){\rm{ }} = {e^2}{M_\Theta }(1)\)
\(\mu = {e^2}{e^{2.1 + \frac{1}{2}{3^2}{1^2}}} = {e^{8,5}} = 4.914,7688\)
\(v = E(v(\Theta )){\rm{ }} = E({e^{2\Theta }}({e^8} – {e^4})){\rm{ }} = {\rm{ }}({e^8} – {e^4}){M_\Theta }(2)\)
\(v = {e^{22}}({e^8} – {e^4}){\rm{ }} = {e^{26}}({e^4} – 1)\)
\(a = Var(\mu (\Theta )){\rm{ }} = Var({e^{\Theta + 2}}){\rm{ }} = {e^4}Var({e^\Theta })\)
\(a = {e^4}({M_\Theta }(2) – {({M_\Theta }(1))^2})\)
\(a = {e^{17}}({e^9} – 1)\)
\(k = \frac{v}{a} = \frac{{{e^{26}}({e^4} – 1)}}{{{e^{17}}({e^9} – 1)}} = 53,6048\)
\(Z = \frac{{20}}{{20 + 53,60458}} = 0,2717\)
Prediksi Buhlmann terhadap besarnya klaim untuk klaim berikutnya: |
| Jawaban | A. 6.200 |