Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 14 - November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	14

SOAL

Banyaknya klaim memiliki distribusi sebagai berikut:

\({p_k} = {p_{k – 1}}\left( {0,6 + \frac{{0,3}}{k}} \right)\) ; \(k \ge 1\)

Besarnya klaim berdistribusi Pareto dengan parameter \(\theta = 1.000\) dan \(\alpha = 3\)
Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas

Hitunglah variansi dari total kerugian (aggregate losses)

kurang dari 500.000
paling sedikit 3.500.000, akan tetapi kurang dari 000.000
paling sedikit 4.000.000, akan tetapi kurang dari 500.000
paling sedikit 4.500.000, akan tetapi kurang dari 000.000
lebih dari 000.000

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Banyaknya klaim memiliki distribusi sebagai berikut: \({p_k} = {p_{k – 1}}\left( {0,6 + \frac{{0,3}}{k}} \right)\) ; \(k \ge 1\) Besarnya klaim berdistribusi Pareto dengan parameter \(\theta = 1.000\) dan \(\alpha = 3\) Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas
Rumus yang digunakan	Agregat: \(Var\left[ S \right] = E\left[ N \right]Var\left[ X \right] + Var\left[ N \right]E{\left[ X \right]^2}\) Negatif Binomial \(\left( {a,b,0} \right)\): \(a = \frac{\beta }{{1 + \beta }}\); \(b = \left( {r – 1} \right)a\); \(E\left[ N \right] = r\beta \) dan \(Var\left[ N \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right)\) Pareto: \(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\) dan \(Var\left( X \right) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{\theta }{{\alpha – 1}}} \right)^2}\)
Proses pengerjaan	Negatif Binomial \(a = \frac{\beta }{{1 + \beta }} = 0.6\) \(b = \left( {r – 1} \right)a\) \(\beta = 0.6 + 0.6\beta \) dan \(0.3 = \left( {r – 1} \right)0.6\) \(\beta = 1.5\) \(r = 1.5\) \(E\left[ N \right] = r\beta = \left( {1.5} \right)\left( {1.5} \right) = 2.25\) \(Var\left[ N \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right) = \left( {1.5} \right)\left( {1.5} \right)\left( {2.5} \right) = 5.625\)
	Pareto \(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}} = \frac{{1000}}{2} = 500\) \(Var\left( X \right) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{\theta }{{\alpha – 1}}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{{1000}^2}} \right)}}{{\left( 2 \right)\left( 1 \right)}} – {500^2} = 750,000\)
	\(Var\left[ S \right] = 2.25\left( {750,000} \right) + 5.625\left( {{{500}^2}} \right) = 3,093.750\)
Jawaban	A. Kurang dari 3.500.000