Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
25 |
SOAL
Dari studi mortalita yang diobservasi pada tahun kalender 2015, diperoleh data sebagai berikut:
| Individu |
Tanggal Lahir |
| A |
1 Juli 1984 |
| B |
1 Januari 1985 |
| C |
1 Juli 1985 |
Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada individu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan) diperoleh \({\hat q_{30}} = 0,4204\)
Pada tanggal berapa individu B meninggal dunia? (cari tanggal yang terdekat)
- 1 Agustus 2015
- 1 September 2015
- 1 Oktober 2015
- 1 November 2015
- 1 Desember 2015
| Diketahui |
| Individu |
Tanggal Lahir |
| A |
1 Juli 1984 |
| B |
1 Januari 1985 |
| C |
1 Juli 1985 |
Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada individu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan) diperoleh \({\hat q_{30}} = 0,4204\)
|
| Rumus yang digunakan |
\({y_i}\) = tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i}\) = tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\(\theta \) = tanggal meninggal – tanggal lahir
\({\phi _i}\) = tanggal withdraw – tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan |
Usia \(x = 30\)
| Tgl Lahir |
\({y_i}\) |
\({z_i}\) |
\({\theta _i}\) |
\({\psi _i}\) |
\({r_i}\) |
\({s_i}\) |
\({\iota _i}\) |
\({\kappa _i}\) |
Eksposur
eksak |
| 1-Jul-84 |
30.50 |
31.50 |
0.00 |
0.00 |
0.50 |
1.00 |
0.00 |
0.00 |
0.50 |
| 1-Jan-85 |
30.00 |
31.00 |
30.00+x |
0.00 |
0.00 |
1.00 |
x |
0.00 |
x |
| 1-Jul-85 |
29.50 |
30.50 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.50 |
0.00 |
0.00 |
0.50 |
| Total |
1.00+x |
\({{\hat q}_{30}} = 1 – \exp \left( { – \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 0,4204\)
\(– \ln \left( {1 – 0,4204} \right) = \frac{1}{{1 + x}}\)
\(0,545417 + 0,545417x = 1\)
\(x = \frac{{1 – 0,545417}}{{0,545417}} = 0,833459\) (diubah ke bulan)
\(\frac{b}{{12}} = 0,833459\)
\(b = 10,001511\)
Jadi, jika 30+0,0 dimulai pada 1 Januari 2015 (bulan ke-1) maka individu B meninggal dunia sekitar tanggal 1 November 2015 |
| Jawaban |
d. 1 November 2015 |
