Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Metoda Statistika |
| Periode Ujian | : | Juni 2016 |
| Nomor Soal | : | 25 |
SOAL
Dari studi mortalita yang diobservasi pada tahun kalender 2015, diperoleh data sebagai berikut:
| Individu | Tanggal Lahir |
| A | 1 Juli 1984 |
| B | 1 Januari 1985 |
| C | 1 Juli 1985 |
Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada individu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan) diperoleh \({\hat q_{30}} = 0,4204\)
Pada tanggal berapa individu B meninggal dunia? (cari tanggal yang terdekat)
- 1 Agustus 2015
- 1 September 2015
- 1 Oktober 2015
- 1 November 2015
- 1 Desember 2015
| Diketahui | | Individu | Tanggal Lahir | | A | 1 Juli 1984 | | B | 1 Januari 1985 | | C | 1 Juli 1985 |
Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada individu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan) diperoleh \({\hat q_{30}} = 0,4204\) |
| Rumus yang digunakan | \({y_i}\) = tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i}\) = tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\(\theta \) = tanggal meninggal – tanggal lahir
\({\phi _i}\) = tanggal withdraw – tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan | Usia \(x = 30\)| Tgl Lahir | \({y_i}\) | \({z_i}\) | \({\theta _i}\) | \({\psi _i}\) | \({r_i}\) | \({s_i}\) | \({\iota _i}\) | \({\kappa _i}\) | Eksposur eksak | | 1-Jul-84 | 30.50 | 31.50 | 0.00 | 0.00 | 0.50 | 1.00 | 0.00 | 0.00 | 0.50 | | 1-Jan-85 | 30.00 | 31.00 | 30.00+x | 0.00 | 0.00 | 1.00 | x | 0.00 | x | | 1-Jul-85 | 29.50 | 30.50 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 0.50 | 0.00 | 0.00 | 0.50 | | Total | 1.00+x |
\({{\hat q}_{30}} = 1 – \exp \left( { – \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 0,4204\)
\(– \ln \left( {1 – 0,4204} \right) = \frac{1}{{1 + x}}\)
\(0,545417 + 0,545417x = 1\)
\(x = \frac{{1 – 0,545417}}{{0,545417}} = 0,833459\) (diubah ke bulan)
\(\frac{b}{{12}} = 0,833459\)
\(b = 10,001511\)Jadi, jika 30+0,0 dimulai pada 1 Januari 2015 (bulan ke-1) maka individu B meninggal dunia sekitar tanggal 1 November 2015 |
| Jawaban | d. 1 November 2015 |
