Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
24 |
SOAL
Diketahui:
- Studi mortalita dilakukan atas sejumlah \(n\) orang.
- Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yang sama
- \({t_k} = \) Saat kejadian meninggal ke-\(k\)
- Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada \({t_2}\) adalah \(\hat \Lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{{49}}{{600}}\)
Hitunglah estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi survival pada \({t_{12}}\).
- 0,22
- 0,30
- 0,33
- 0,45
- 0,52
| Diketahui |
- Studi mortalita dilakukan atas sejumlah \(n\) orang.
- Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yang sama
- \({t_k} = \) Saat kejadian meninggal ke-\(k\)
- Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada \({t_2}\) adalah \(\hat \Lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{{49}}{{600}}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\(\hat \Lambda \left( {{t_k}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^k {\frac{1}{{{r_j}}}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n – 1}} + \cdots + \frac{1}{{n – k + 1}},\) \({t_k} \le t < {t_{k + 1}}\)
\(\hat S\left( {{t_k}} \right) = \prod\limits_{j = 1}^k {\left( {\frac{{{r_j} – {d_j}}}{{{r_j}}}} \right)} \) untuk \(_k \le t < {t_{k + 1}}\) |
| Proses pengerjaan |
\(\hat \Lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n – 1}}\)
\(\frac{{49}}{{600}} = \frac{{2n – 1}}{{{n^2} – n}}\)
\(49{n^2} – 49n = 1200n – 600\)
\(49{n^2} – 1249n + 600 = 0\)
\(\left( {49n – 24} \right)\left( {n – 25} \right) = 0\)
\(n = \frac{{24}}{{49}}\) atau \(n = 25\) dipilih \(n = 25\)
\(\hat S\left( {{t_{12}}} \right) = \frac{{24}}{{25}} \cdot \frac{{23}}{{24}} \cdot \frac{{22}}{{23}} \cdot \frac{{21}}{{22}} \cdot \frac{{20}}{{21}} \cdot \frac{{19}}{{20}} \cdot \frac{{18}}{{19}} \cdot \frac{{17}}{{18}} \cdot \frac{{16}}{{17}} \cdot \frac{{15}}{{16}} \cdot \frac{{14}}{{15}} \cdot \frac{{13}}{{14}}\)
\(= \frac{{13}}{{25}}\)
\(= 0,52\) |
| Jawaban |
e. 0,52 |
