Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
20 |
SOAL
Tingkat kematian untuk Audra (usia 25 tahun) adalah \({l_x} = 50\left( {100 – x} \right),0 \le x \le 100\)
Jika Audra menggunakan balon udara, maka tingkat kematiannya disesuaikan hanya untuk tahun mendatang saja dan dia akan memiliki force of mortality yang konstan sebesar 0,1.
Tentukan penurunan harapan hidup selama 11 tahun untuk Audra jika dia menggunakan balon udara.
- 0,1
- 0,35
- 0,6
- 0,8
- 1,0
| Diketahui |
Tingkat kematian untuk Audra (usia 25 tahun) adalah \({l_x} = 50\left( {100 – x} \right),0 \le x \le 100\)
Jika Audra menggunakan balon udara, maka tingkat kematiannya disesuaikan hanya untuk tahun mendatang saja dan dia akan memiliki force of mortality yang konstan sebesar 0,1. |
| Rumus yang digunakan |
\({}_t{p_x} = \frac{{{l_{x + t}}}}{{{l_x}}}\), \({}_t{p_x} = \exp \left( { – \int\limits_0^t {{\mu _x}\left( t \right)dt} } \right)\)
\(e_{x:\bar n|}^0 = \int\limits_0^n {{}_t{p_x}} dt\), \(e_{x:\bar n|}^0 = e_{x:\bar m|}^0 + {p_x}e_{x + 1:\overline {n – m} |}^0\) |
| Proses pengerjaan |
Jika Audra tidak menggunakan balon udara
\({}_t{p_x} = \frac{{{l_{x + t}}}}{{{l_x}}} = \frac{{50\left( {100 – x – t} \right)}}{{50\left( {100 – x} \right)}} = \frac{{100 – x – t}}{{100 – x}}\)
\(e_{25:\overline {11} |}^0 = \int\limits_0^{11} {\left( {1 – \frac{t}{{100 – 25}}} \right)dt} = \left[ {t – \frac{{{t^2}}}{{150}}} \right]_0^{11} = 10,1933\) |
| Jika Audra menggunakan balon udara
\({}_t{p_x} = \exp \left( { – \int\limits_0^t {0,1dt} } \right) = \exp \left( { – 0,1t} \right)\)
\(e_{25:\overline {11|} }^{0{\mathop{\rm Re}\nolimits} visi} = e_{25:\overline {1|} }^0 + {p_{25}}e_{26:\overline {10|} }^0\)
\(= \int\limits_0^1 {{}_t{p_{25}}dt} + {p_{25}} \cdot \int\limits_0^{10} {\left( {1 – \frac{t}{{100 – 25}}} \right)dt} \)
\(= \int\limits_0^1 {\exp \left( { – 0,1t} \right)dt} + \exp \left( { – 0,1} \right) \cdot \int\limits_0^{10} {\left( {1 – \frac{t}{{75}}} \right)dt} \)
\(= 0,95163 + 0,90484\left( {9,32432} \right)\)
\(= 9,3886\) |
| Penurunan harapan hidupnya sebesar \(= 10,1933 – 9,3886 = 0,8047\) |
| Jawaban |
d. 0,8 |
