Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
3 |
SOAL
Diketahui \({X_1}\) dan \({X_2}\) merupakan peubah acak bebas, didefinisikan bahwa: Apabila \(Y = Min\left( {{X_1},{X_2}} \right)\), \(Z = Max\left( {{X_1},{X_2}} \right)\)
Maka:
- Fungsi Sebaran Survival (Survival Distribution Function) dari \(Y\), \(S\left( y \right)\), merupakan perkalian dari fungsi sebaran survival \({X_1}\) dan fungsi sebaran survival \({X_2}\).
- Fungsi Sebaran Kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari \(Z\), \(F\left( z \right)\), merupakan perkalian dari fungsi sebaran kumulatif \({X_1}\) dan fungsi sebaran kumulatif \({X_2}\)
- Apabila \({X_1}\) dan \({X_2}\) menyebar exponensial maka \(Z\) menyebar eksponensial namun \(Y\) tidak.
Yang manakah pernyataan di atas yang benar?
- I saja
- I dan II saja
- I dan III saja
- II dan III saja
- I, II, dan III benar
| Diketahui |
\({X_1}\) dan \({X_2}\) merupakan peubah acak bebas, didefinisikan bahwa: Apabila
\(Y = Min\left( {{X_1},{X_2}} \right)\), \(Z = Max\left( {{X_1},{X_2}} \right)\) |
| Rumus yang digunakan |
Untuk dua fungsi peubah acak yang bebas berlaku
\({F_{X,Y}}\left( {x,y} \right) = {F_X}\left( x \right) \cdot {F_Y}\left( y \right){\rm{ }}\) dan \({{\rm{S}}_{X,Y}}\left( {x,y} \right) = {S_X}\left( x \right) \cdot {S_Y}\left( y \right)\)
\(F\left( x \right) = P\left( {X \le x} \right)\) dan \(S\left( x \right) = 1 – F\left( x \right) = P\left( {X > x} \right)\)
\(Y = Min\left( {{X_1},{X_2}} \right) \to {F_Y}\left( y \right) = P\left( {Y \le y} \right) = 1 – P\left( {Y > y} \right)\)
\(Z = Max\left( {{X_1},{X_2}} \right) \to {F_Z}\left( y \right) = P\left( {Z \le z} \right)\) |
| Proses pengerjaan |
I. \(Y = Min\left( {{X_1},{X_2}} \right)\)
\({F_Y}\left( y \right) = P\left( {Y \le y} \right) = 1 – P\left( {Y > y} \right)\)
\(= 1 – P\left( {{X_1} > x,{X_2} > x} \right)\)
\(= 1 – \left[ {P\left( {{X_1} > x} \right)P\left( {{X_2} > x} \right)} \right]\)
\(1 – {F_Y}\left( y \right) = P\left( {{X_1} > x} \right)P\left( {{X_2} > x} \right)\)
\({S_Y}\left( y \right) = {S_{{X_1}}}\left( x \right){S_{{X_2}}}\left( x \right)\)
|
| II. \(Z = Max\left( {{X_1},{X_2}} \right)\)
\({F_Z}\left( z \right) = P\left( {Z \le z} \right)\)
\(= P\left( {{X_1} \le x,{X_2} \le x} \right)\)
\(= P\left( {{X_1} \le x} \right)P\left( {{X_2} \le x} \right)\)
\({F_Z}\left( z \right) = {F_{{X_1}}}\left( x \right){F_{X2}}\left( x \right)\)
|
| III. Salah, karena jika \({X_1}\) dan \({X_2}\) sama-sama menyebar exponensial maka \(Z\) dan \(Y\) harus memiliki sifat yang sama yaitu menyebar exponential membawa sifat fungsi distribusi |
| Jawaban |
b. I dan II saja |
