Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Probabilita dan Statistika |
Periode Ujian |
: |
Juni 2014 |
Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas densitas :
\(f(x) = a{e^{ – x}} + b{e^{ – 2x}}\) , untuk \({\rm{0 < }}x{\rm{ < }}\infty \)
Jika nilai mean dari X sama dengan 1, maka nilai dari \(\Pr (X < 1)\) sama dengan …
- 0,52
- 0,63
- 0,74
- 0,85
- 0,96
Diketahui |
\(f(x) = a{e^{ – x}} + b{e^{ – 2x}}\) , untuk \({\rm{0 < }}x{\rm{ < }}\infty \) |
Rumus yang digunakan |
\(\int\limits_0^\infty {f(x)dx = 1} \) |
Proses pengerjaan |
\(\int\limits_0^\infty {f(x)dx = 1} \)
\(\Leftrightarrow \int\limits_0^\infty {a{e^{ – x}} + b{e^{ – 2x}}dx = 1} \)
\(\Leftrightarrow a + \frac{b}{2} = 1\)Diketahui juga bahwa
\(E(X) = 1\)
\(\Leftrightarrow \int\limits_0^\infty {ax{e^{ – x}}} + bx{e^{ – 2x}}dx = 1\)
\(\Leftrightarrow a + \frac{b}{4} = 1\)
Dengan persamaan \(a + \frac{b}{2} = 1\) dan \(a + \frac{b}{4} = 1{\rm{ }}\) didapat nilai
\(a = 1,b = 0.\)
Akan dicari nilai \(\Pr (X < 1)\)
\(\Pr (X < 1) = \int\limits_0^1 {f(x)} dx = \int\limits_0^1 {{e^{ – x}}} dx = 0,63\) |
Jawaban |
B. 0,63 |