Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
29 |
SOAL
Misal merupakan biaya klaim bedah dan merupakan biaya klaim rawat inap. Seorang aktuaris menggunakan model dimana
\(E(X) = 5;{\rm{ }}E({X^2}) = 27,4;{\rm{ }}E(Y) = 7;{\rm{ }}E({Y^2}) = 51.4;{\rm{ }}Var(X + Y) = 8\)
Jika \({C_1} = X + Y\) merupakan kombinasi dari biaya klaim bedag dan biaya rawat inap dan merupakan kombinasi dari biaya klaim bedah dan biaya rawat inap yang sudah dikenakan penambahan biaya 20%. 20% penambahan biaya hanya berlaku untuk rawat inap. Hitunglah
- 8,8
- 9,6
- 9,76
- 11,52
- 12,32
PEMBAHASAN
| Diketahui |
\(E(X) = 5;{\rm{ }}E({X^2}) = 27,4;{\rm{ }}E(Y) = 7;{\rm{ }}E({Y^2}) = 51,4;{\rm{ }}\)
\(Var(X + Y) = 8\)
\({C_1} = X + Y;{\rm{ }}{{\rm{C}}_2} = X + 1.2Y\) |
| Rumus |
\(\bullet Var(X) = E({X^2}) – {(E(X))^2}\)
\(\bullet Var(Y) = E({Y^2}) – {(E(Y))^2}\)
\(\bullet Cov(X,Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y)\)
\(\bullet E(XY) = Cov(X,Y) + E(X).E(Y)\)
\(\bullet Var(aX + bY) = {a^2}Var(X) + {b^2}Var(Y) + 2ab.{\rm{ }}Cov(X,Y)\) |
| Pembahasan |
\(Var(X) = E({X^2}) – {(E(X))^2} = 27,4 – {5^2} = 2.4\)
\(Var(X) = E({Y^2}) – {(E(Y))^2} = 51.4 – {7^2} = 2.4\)\(Cov({C_1},{C_2}) = E({C_1}.{C_2}) – E({C_1})E({C_2})\)
\(= E((X + Y)(X + 1.2Y)) – E(X + Y)E(X + 1.2Y)\)
\(= E({X^2} + 2.2XY + 1.2{Y^2}) – (E(X) + E(Y))(E(X) + 1.2E(Y))\)
\(= (E({X^2}) + 2.2E(XY) + 1.2E({Y^2})) – (E(X) + E(Y))((E(X) + 1.2E(Y)){\rm{ (*)}}\)
Selanjutnya
\(Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)\)
\(Cov(X,Y) = \frac{1}{2}(Var(X + Y) – Var(X) – Var(Y)) = \frac{1}{2}(8 – 2.4 – 2.4) = 1.6\)
\(E(XY) = Cov(X,Y) + E(X).E(Y) = 1.6 + 35 = 36.6\)
Subsitusi semua nilai ke dalam (*) maka
\(Cov({C_1},{C_2}) = (27.4 + 2.2(36.6) + 1.2(51.4)) – (5 + 7)(5 + 1.2(7)) = 8.8\) |
| Jawaban |
a. 8.8 |
