Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian | : | Mei 2018 |
| Nomor Soal | : | 25 |
SOAL
Berapa banyak dari pernyataan ini yang benar mengenai penjumlahan dari variabel acak yang saling bebas
- Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi Poisson adalah berdistribusi Poisson
- Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi exponential adalah berdistribusi exponential
- Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi geometric adalah berdistribusi geometric
- Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi normal adalah berdistribusi normal
- 1
- 2
- 3
- 4
- 0
| Diketahui | \({X_i}{\rm{, }}i = 1,….,n\) independent |
| Rumus yang digunakan | \(X \sim Pois(\lambda ),{\rm{ }}f(x) = \frac{{{\lambda ^x}{e^{ – \lambda }}}}{{x!}},{\rm{ }}{\mu _x} = \lambda ,{\sigma ^2}_x = \lambda ,MGF = \exp (\lambda ({e^t} – 1))\)
\(X \sim \exp (\lambda ),{\rm{ }}f(x) = 1 – {e^{ – \lambda x}},{\rm{ }}{\mu _x} = \frac{1}{\lambda },{\sigma ^2}_x = \frac{1}{{{\lambda ^2}}},{\rm{ }}MGF = \frac{\lambda }{{\lambda – t}}\)
\(X \sim geo(x,p),{\rm{ }}p(x) = {(1 – p)^{x – 1}},{\rm{ }}{\mu _x} = \frac{1}{p},{\sigma ^2}_x = \frac{{1 – p}}{{{p^2}}},MGF = \frac{\lambda }{{\lambda – t}}\)
\(X \sim N(\mu ,{\sigma ^2}),{\rm{ }}f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}{e^{ – \frac{{{{(x – \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}},{\rm{ }}{\mu _x} = \mu ,{\sigma ^2}_x = {\sigma ^2},MGF = \exp (\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2})\)
Jika X dan Y random variabel yang saliang bebas MGF untuk X + Y adalah, \({M_{X + Y}}(t) = {M_x}(t).{M_y}(t)\) |
| Proses pengerjaaan | Berdasarkan teorema yang sudah ada, jelas bahwa hanya ada 2 pernyataan yang benar - Jika \({X_i} \sim Pois({\lambda _i}),{\rm{ }}i = 1,….,n\) independent dan \(\lambda {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} ,\) maka \(Y = (\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} ) \sim Pois(\lambda ){\rm{ *(}}Raikov’s{\rm{ }}theorem)\)akan kita buktikan kebenaran pernyataan (1) menggunakan konsep MGF-nya
Diambil \({X_1},{X_2}\) saling bebas maka MGF untuk \({X_1} + {X_2}\) adalah,
\({M_{{X_1},{X_2}}}(t)\)
\(= {M_{{X_1}}}(t).{M_{{X_2}}}(t)\)
\(= \exp ({\lambda _1}({e^t} – 1)).\exp ({\lambda _2}({e^t} – 1))\)
\(= \exp (({\lambda _1} + {\lambda _2})({e^t} – 1)){\rm{ (*)}}\)
(*) merupakan MGF untuk distribusi Poisson dengan mean \({\lambda _1} + {\lambda _2}\) dan variasi \({\lambda _1} + {\lambda _2}\) - Jika \({X_1} \sim N({\mu _{{x_1}}},{\sigma _{{x_1}}}),{\rm{ dan }}{X_2} \sim N({\mu _{{x_2}}},{\sigma _{{x_2}}})\) independent maka \(({X_1} + {X_2}) \sim N({\mu _{{x_1}}} + {\mu _{{x_2}}},{\sigma _{{x_1}}} + {\sigma _{{x_2}}}){\rm{ *(}}Bernstein’s\) \(theorem)\)akan kita buktikan kebenaran pernyataan (2) menggunakan kosep MGF-nya
Diambil \({X_1},{X_2}{\rm{ }}\) saling bebas maka MGF untuk \({X_1} + {X_2}{\rm{ }}\) adalah
\({M_{{X_1},{X_2}}}(t)\)
\(= {M_{{X_1}}}(t).{M_{{X_2}}}(t)\)
\(= \exp ({\mu _{{X_1}}}t + \frac{{\sigma _{_{{X_1}}}^2{t^2}}}{2}).\exp ({\mu _{{X_2}}}t + \frac{{\sigma _{_{{X_2}}}^2{t^2}}}{2})\)
\(= \exp (({\mu _{{X_1}}} + {\mu _{{X_2}}})t + \frac{{(\sigma _{_{{X_1}}}^2 + \sigma _{_{{X_2}}}^2){t^2}}}{2}){\rm{ (**)}}\)
(**) merupakan MGF untuk Distribusi Normal dengan mean \({\mu _{{X_1}}} + {\mu _{{X_2}}}{\rm{ }}\) dan variasi \(\sigma _{_{{X_1}}}^2 + \sigma _{_{{X_2}}}^2\). |
| Jawaban | b. 2 |
