Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian | : | November 2018 |
| Nomor Soal | : | 13 |
SOAL
Dalam suatu model banyaknya klaim yang diisi oleh individu untuk polis asuransi kendaraan dalam periode 3 tahun, seorang aktuaris membuat simplifikasi asumsi bahwa untuk semua bilangan integer \(n \ge 0,\,{p_{n + 1}} = \frac{1}{5}{p_n}\) , dimana \({p_n}\) merupakan peluang bahwa pemegang polis memilki n klaim selama periode tersebut.
Dalam asumsi ini, berapa peluang bahwa seorang pemegang polis memiliki lebih dari 1 klaim selama periode tersebut?
- 0,04
- 0,16
- 0,20
- 0,80
- 0,96
| Diketahui | \({p_n}\) merupakan peluang bahwa pemegang polis memilki n klaim
\({p_{n + 1}} = \frac{1}{5}{p_n},\) \(n \ge 0\) |
| Step 1 | n=0
\({p_1} = \frac{1}{5}{p_0}\)
n=1
\({p_2} = \frac{1}{5}{p_1} = \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5}{p_0}} \right) = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2}{p_0}\) n=2
\({p_3} = \frac{1}{5}{p_2} = \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5}\frac{1}{5}{p_0}} \right) = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3}{p_0}\) |
| Step 2 | \(\sum\limits_{n \ge 0}^\infty {{p_n}} = 1\)
\(\sum\limits_{n \ge 0}^\infty {{p_n}} = {p_0} + {p_1} + {p_2} + {p_3} + … + {p_\infty }\)
\(\sum\limits_{n \ge 0}^\infty {{p_n}} = {p_0} + \frac{1}{5}{p_0} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2}{p_0} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3}{p_0} + … + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^\infty }{p_0}\)\({p_n}\, \sim \,Geometrik\,Tak\,Hingga\)- \(\sum\limits_{n \ge 0}^\infty {{p_n}} = 1\)
\(\sum\limits_{n \ge 0}^\infty {{p_n}} = \frac{{{p_0}}}{{1 – \frac{{\left( {\frac{1}{5}{p_0}} \right)}}{{{p_0}}}}}\)
\(\sum\limits_{n \ge 0}^\infty {{p_n}} = \frac{{{p_0}}}{{1 – \frac{1}{5}}}\)
\(1 = \frac{{{p_0}}}{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}}\)
\({p_0} = \frac{4}{5}\)
\({p_0} = 0,8\)
|
| Maka | \(P(N > 1) = 1 – P(N \le 1)\)
\(P(N > 1) = 1 – \left( {P(N = 0) + P(N = 1)} \right)\)- \({p_0} = 0,8\)
- \({p_1} = \frac{1}{5}{p_0} = (0,2)(0,8)\)
\(P(N > 1) = 1 – \left( {0,8 + (0,2)(0,8)} \right)\)
\(P(N > 1) = 0,04\) |
| Jawaban | a. 0,04 |
