Pembahasan Ujian PAI: A50 – No. 11 – November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

SOAL

Dari studi mortalita yang diobservasi pada tahun kalender 2007, diperoleh data sebagi berikut:

Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada individu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan) diperoleh \({\widehat q_{30}} = 0.451\). Pada tanggal berapa individu B meninggal dunia?

1. 1 Agustus 2007
2. 1 September 2007
3. 1 Oktober 2007
4. 1 November 2007
5. 1 Juli 2007

Diketahui	Observasi tahun 2007 Metode exact exposure \({\widehat q_{30}} = 0.451\)
Rumus yang digunakan	\({y_i} = \) tanggal awal pengamatan – tanggal lahir \({z_i} = \) tanggal akhir pengematan – tanggal lahir \({\theta _{}}{\rm{ = }}\) tanggal meninggal – tanggal lahir \({\phi _i}{\rm{ = }}\) tanggal withdrawal – tanggal lahir \({r_i} = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ {y_i} – x \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {,jika\_{y_i} \le x{\rm{ }}}\\ {,jika\_x < {y_i} < x + 1} \end{array}\) \({s_i} = \left\{ \begin{array}{l} {z_i} – x\\ 1 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {,jika\_x < {z_i} < x + 1}\\ {,jika\_{z_i} \ge x + 1{\rm{ }}} \end{array}\) \({l_i} = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ {\theta _i} – x\\ 0 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} ,jika\_{\theta _i} = 0\\ ,jika\_x < {\theta _i} < x + 1 \end{array}\\ {,jika\_{\theta _i} \ge x + 1{\rm{ }}} \end{array}\) \({k_i} = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ {\phi _i} – x\\ 0 \end{array} \right.\begin{array}{ {20}{c}} \begin{array}{l} ,jika\_{\phi _i} = 0\\ ,jika\_x < {\phi _i} < x + 1 \end{array}\\ {,jika\_{\phi _i} \ge x + 1{\rm{ }}} \end{array}\) \({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ \begin{array}{l} {s_i} – {r_i}\\ {k_i} – {r_i}\\ {l_i} – {r_i} \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} ,jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw\\ ,jika\_seseorang\_withdraw \end{array}\\ {,jika\_seseorang\_meninggal{\rm{ }}} \end{array}\)
Proses pengerjaan	Tgl Lahir \({y_i}\) \({z_i}\) \({\theta _i}\) \({\phi _i}\) \({r_i}\) \({s_i}\) \({l_i}\) \({k_i}\) Eksposur eksak 1 Jul 76 30.5 31.5 0 0 0.5 1 0 0 0.5 1 Jan 77 30 31 30+x 0 0 1 x 0 X 1 Jul 77 29.50 30.5 0 0 0 0.5 0 0 0.5 TOTAL 1+x \({\widehat q_{30}} = 1 – \exp ( – \frac{1}{{1 + x}})\) \(\Leftrightarrow 0.451 = 1 – \exp ( – \frac{1}{{1 + x}})\) \(\Leftrightarrow \exp ( – \frac{1}{{1 + x}}) = 0.549\) \(\Leftrightarrow – \frac{1}{{1 + x}} = \ln (0.549)\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{{1 + x}} = 0.59966\) \(\Leftrightarrow x = 0.66762\) selanjutnya \(\frac{b}{{12}} = 0.66762\) \(\Leftrightarrow b = 8.011445\) Sehingga, jika 30+0.0 dimulai 1 januari 2007 (bulan ke-1) maka individu B meninggal dunia sekita tanggal 1 September 2007
Jawaban	a. 1 September 2007