Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 07 – Mei 2025

• 5 tahun pertama \(\delta = 0{,}05\)
• 5 sampai 15 tahun (10 tahun berikutnya): \(d^{(4)} = 6\% = 0{,}06\)

$$A(t) = A(0) \cdot a(t)$$

Dengan fungsi akumulasi untuk bunga majemuk dengan suku bunga efektif \(i\) yang konstan

$$a(t) = \left(1 + i\right)^{t}$$

Oleh karena \(1 + i = e^{\delta}\), maka:

$$a(t) = (e^{\delta})^t$$

Sehingga

$$\begin{aligned}
A(t) &= A(0) \cdot a(t) \\
&= A(0) \cdot (e^{\delta})^t \\
A(t) &= A(0) \cdot e^{\delta t}
\end{aligned}$$

Diskonto nominal \(d^{(m)}\)

Laju diskonto tahunan yang dikonversi \(m\) kali per tahun. Diskonto efektif per subperiode (sepanjang \(\frac{1}{m}\) tahun) adalah

$$\frac{d^{(m)}}{m}$$

Dalam \(t\) tahun terdapat \(mt\) subperiode, maka

$$A(t) = A(0) \cdot \left(1 – \frac{d^{(m)}}{m}\right)^{-mt}$$

Bunga nominal \(i^{(m)}\)

Dengan bunga nominal \(i^{(m)}\) yang dikonversi \(m\) kali per tahun. Diskonto efektif per subperiode (sepanjang \(\frac{1}{m}\) tahun) adalah

$$\frac{i^{(m)}}{m}$$

Dalam \(t\) tahun terdapat \(mt\) subperiode, maka

$$A(t) = A(0) \cdot \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}$$

Akumulasi Bertahap

Setiap tahap memiliki fungsi akumulasi sendiri sesuai tingkat bunganya

$$\begin{aligned}
A\left(t_{n}\right) &= A\left(t_{n-1}\right) \cdot a_{n}\left(t_{n} – t_{n-1}\right), \qquad t_{0} = 0 \\
&= A(0) \cdot \prod_{j=1}^{n} a_{j}\left(t_{j} – t_{j-1}\right)
\end{aligned}$$

$$a_{1}(5) = e^{0{,}05 \cdot 5} = e^{0{,}25} = 1{,}284025$$

Fungsi akumulasi 10 tahun pertama \(a_{2}(10)\)

$$\begin{aligned}
a_{2}(10) &= \left(1 – \frac{0{,}06}{4}\right)^{-4 \cdot 10} \\
&= \left(0{,}985\right)^{-40} \\
&= 1{,}830420
\end{aligned}$$

Titik waktu pergantian tahap:

• \(t_{0} = 0\), awal periode
• \(t_{1} = 5\), akhir tahap 1 (saat force of interest berganti menjadi diskonto nominal)
• \(t_{2} = 15\), akhir tahap 2

Lalu hitung lama tiap tahap, yaitu selisih titik waktunya:

• Tahap 1: \(t_{1} – t_{0} = 5\), fungsi akumulasinya \(a_{1}(5)\)
• Tahap 2: \(t_{2} – t_{1} = 15 – 5 = 10\), fungsi akumulasinya \(a_{2}(10)\)

Substitusikan ke rumus, sehingga didapatkan nilai akumulasi total 15 tahun \(A(15)\)

$$\begin{aligned}
A(15) &= A(0) \cdot a_{1}(5) \cdot a_{2}(10) \\
&= 1 \cdot 1{,}284025 \cdot 1{,}830420 \\
&= 2{,}35031
\end{aligned}$$

Selanjutnya cari tingkat bunga nominal tahunan yang dikonversi bulanan \(i^{(12)}\)

$$\begin{aligned}
A(15) &= A(0) \cdot \left(1 + \frac{i^{(12)}}{12}\right)^{12 \cdot 15} \\
2{,}35031 &= \left(1 + \frac{i^{(12)}}{12}\right)^{180} \\[4pt] 1 + \frac{i^{(12)}}{12} &= \left(2{,}35031\right)^{1/180} = 1{,}0047588 \\
\frac{i^{(12)}}{12} &= 0{,}0047588 \\
i^{(12)} &= 12 \times 0{,}0047588 \\
&= 0{,}0571 \approx 5{,}71\%
\end{aligned}$$