Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 08 – Mei 2025

• Anuitas akhir selama \(n = 10\) tahun, dibayar per kuartal (\(m = 4\))
• Tahun ke-1 : \(R = 100\) pembayaran per kuartal
• \(g = 5\% = 0,05\), kenaikan pembayaran tiap tahun dari tahun sebelumnya
• \(i^{(4)} = 8\%\)

$$j = \frac{i^{(m)}}{m}$$

Nilai sekarang anuitas akhir

$$\begin{aligned}
a_{\overline{n}|} &= \nu + \nu^{2} + \nu^{3} + \ldots + \nu^{n} \\
&= \nu\left(1 + \nu + \nu^{2} + \ldots + \nu^{n-1}\right) \\
&= \nu \cdot \frac{1 – \nu^{n}}{1 – \nu}
\end{aligned}$$

Karena \(1 – \nu\) dapat disederhanakan menjadi

$$\begin{aligned}
1 – \nu &= 1 – \frac{1}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}} \\
&= \frac{\frac{i^{(m)}}{m}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}} \\
&= \frac{i^{(m)}}{m} \cdot \nu
\end{aligned}$$

Sehingga

$$\begin{aligned}
a_{\overline{n}|} &= \frac{\nu\left(1 – \nu^{n}\right)}{\frac{i^{(m)}}{m} \cdot \nu} \\
&= \frac{1 – \nu^{n}}{\frac{i^{(m)}}{m}}
\end{aligned}$$

Jumlah deret geometri

Misalkan \(S_{n}\) adalah jumlah \(n\) suku pertama deret geometri dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\):

$$\begin{aligned}
S_{n} &= a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} \\
rS_{n} &= ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n}
\end{aligned}$$

Kedua persamaan tersebut dikurangkan, sehingga menjadi

$$S_{n} – rS_{n} = a – ar^{n}$$

Sehingga

$$S_{n}\left(1 – r\right) = a\left(1 – r^{n}\right)$$

Persamaan tersebut menghasilkan dua bentuk yang setara. Bentuk yang dipakai bergantung pada nilai \(r\), agar pembilang dan penyebut bernilai positif.

$$\begin{aligned}
r > 1: \quad S_{n} &= \frac{a\left(r^{n} – 1\right)}{r – 1} \\
r < 1: \quad S_{n} &= \frac{a\left(1 – r^{n}\right)}{1 – r}
\end{aligned}$$

Nilai Sekarang Anuitas Bertingkat per Tahun

Pembayaran per kuartal di tahun ke-k adalah

$$R_{k} = R \cdot \left(1 + g\right)^{k-1}$$

4 pembayaran tahun ke-k jatuh di kuartal ke-4 \((k – 1) + 1\) sampai 4 \((k – 1) + 4\), masing-masing didiskontokan dengan \(v^{k}\)

$$\begin{aligned}
PV_{k} &= R\left(1 + g\right)^{k-1}\left[\nu^{4(k-1)+1} + \nu^{4(k-1)+2} + \nu^{4(k-1)+3} + \nu^{4(k-1)+4}\right] \\[4pt] &= R\left(1 + g\right)^{k-1}\nu^{4(k-1)}\left(\nu + \nu^{2} + \nu^{3} + \nu^{4}\right)
\end{aligned}$$

Disubstitusikan kedalam persamaan \(a_{\overline{n}|} = \nu + \nu^{2} + \nu^{3} + \ldots + \nu^{n}\) dengan \(n = 4\)

$$PV_{k} = R\left(1 + g\right)^{k-1}\nu^{4(k-1)}\,a_{\overline{4}|j}$$

Jumlahkan untuk \(k = 1\) sampai 10. Penjumlahannya berupa deret geometri 10 suku. Gabungkan \((1 =g)\) dan \(v^{4}\) karena sama-sama berpangkat \((k – 1)\)

$$\left(1 + g\right)^{k-1}\nu^{4(k-1)} = \left[\left(1 + g\right)\nu^{4}\right]^{k-1}$$

Setiap suku sebelumnya dikali \(r = (1 + g) \cdot \nu^{4}\), jadi rasio deretnya didefinisikan dengan :

$$r = \left(1 + g\right)\nu^{4}$$

Sehingga

$$\begin{aligned}
PV &= R \cdot a_{\overline{4}|j}\sum_{k=1}^{10} r^{k-1} \\
&= R \cdot a_{\overline{4}|j} \cdot \frac{1 – r^{10}}{1 – r}
\end{aligned}$$

$$j = \frac{0{,}08}{4} = 0{,}02$$

Selanjutnya adalah mencari nilai sekarang dari empat pembayaran dalam satu tahun

Cari faktor diskon

$$\begin{aligned}
\nu^{4} &= \left(1 + j\right)^{-4} = \left(1{,}02\right)^{-4} = 0{,}9238454 \\
a_{\overline{4}|0{,}02} &= \frac{1 – 0{,}9238454}{0{,}02} = 3{,}80773
\end{aligned}$$

& Selanjutnya adalah mencari rasio deret geometri (r) untuk menentukan penggunaan persamaan \(S_{n}\)

$$\begin{aligned}
r &= \left(1 + g\right) \cdot \nu^{4} \\
&= \left(1 + 0{,}05\right) \cdot 0{,}9238454 \\
&= 0{,}970037
\end{aligned}$$

Jumlahkan deret geometri untuk 10 tahun

$$r^{10} = \left(0{,}970037\right)^{10} = 0{,}737705$$

& Cari \(S_{n}\)

$$\begin{aligned}
S_{10} &= \frac{1\left(1 – 0{,}737705\right)}{1 – 0{,}970037} \\
&= \frac{0{,}2622892}{0{,}0299623} = 8{,}75396
\end{aligned}$$

Sehingga dapat dicari nilai \(PV\)

$$\begin{aligned}
PV &= R \cdot a_{\overline{4}|j} \cdot \frac{1 – r^{10}}{1 – r} \\
&= 100 \cdot 3{,}80773 \cdot 8{,}75396 \\
&= 3.333{,}27 \approx 3.333
\end{aligned}$$