Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 05 – Juli 2024

Tingkat bunga efektif tahunan: \(i  = 8\%\)

$$A(t) = A(0)(1 + i)^{t}$$

Nilai sekarang (Present Value/PV) dari satu pembayaran (kebalikan dari formula nilai akumulasi):

$$A(0) = \frac{A(t)}{(1 + i)^{t}}$$

$$PV = \frac{A(n)}{(1 + i)^{n}} + \frac{A(2n)}{(1 + i)^{2n}}$$
$$10 = \frac{10}{(1{,}08)^{n}} + \frac{10}{(1{,}08)^{2n}}$$
$$10 = 10v^{n} + 10v^{2n}$$
$$1 = v^{n} + v^{2n}$$

Dapat dibentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan \(v^{n}\) sebagai \(x\).

$$x^{2} + x – 1 = 0$$

Diperoleh solusi persamaaan kuadrat yakni \(0{,}618\) dan \(-1{,}618\).
Dipilih solusi yang bukan negatif, yakni \(x = v^{n} = 1{,}618\).

Selanjutnya akan dicari nilai \(n\):

$$v^{n} = 0{,}618$$
$$\frac{1}{(1{,}08)^{n}} = 0{,}618$$
$$(1{,}08)^{n} = \frac{1}{0{,}618}$$
$$n = \frac{\ln\left(\frac{1}{0{,}618}\right)}{\ln(1{,}08)}$$
$$n = 6{,}253382 \approx 6{,}25$$

Dengan demikian, diperoleh nilai \(n\) sebesar 6,25 tahun.