Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Rata-rata besar kerugian per polis pada suatu portofolio polis adalah 100. Aktuari 1 mengasumsikan distribusi besar kerugian memiliki distribusi eksponensial dengan mean 100, sedangkan Aktuari 2 mengasumsikan distribusi besar kerugian memiliki fungsi kepadatan peluang :
\({f_2}(x) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}},x > 0\)
Jika m1 dan m2 menyatakan median besar kerugian untuk kedua ditribusi tersebut, maka hitung \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}\) !
- 0,6
- 1,0
- 1,3
- 1,7
- 2,0
PEMBAHASAN
| Diketahui | \(X1\) ialah besar kerugian menurut aktuaria 1 \(X2\) ialah besar kerugian menurut aktuaria 2 |
| Kalkulasi | \({X_1}~eksponensial(\theta = 100)\) \({f_1}(x) = 0,01{e^{ – 0,01x}}\) \(median,\) \(0,5 = 1 – {e^{ – 0,01x}}\) \(x = \frac{{\ln 0,5}}{{ – 0,01}}\) \(x = 69,32 = {m_1}\)\({f_2}(x) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}},x > 0\) \(E[{X_2}] = 100\) \(E[{X_2}] = \int\limits_0^\infty {x(\frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}}} )dx\) \(E[{X_2}] = \int\limits_0^\infty {x(\frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}}} )dx\) \(E[{X_2}] = 2{\theta ^2}\int\limits_0^\infty {x{{(x + \theta )}^{ – 3}}} dx\) \(E[{X_2}] = 2{\theta ^2}\left[ {x\frac{1}{{ – 2}}{{(x + \theta )}^{ – 2}}|_0^\infty – \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{ – 2}}{{(x + \theta )}^{ – 2}}dx} } \right]\) \(E[{X_2}] = 2{\theta ^2}\left[ {0 + \frac{1}{{2\theta }}} \right]\) \(E[{X_2}] = \theta = 100\)\({X_2}~pareto(\theta = 100,\alpha = 2)\) \({S_X}(x) = {\left( {\frac{\theta }{{x + \theta }}} \right)^\alpha }\) \({S_X}(x) = {\left( {\frac{{100}}{{x + 100}}} \right)^2}\) \(median,\) \(0,5 = {\left( {\frac{{100}}{{x + 100}}} \right)^2}\) \(x = \frac{{100}}{{\sqrt {0,5} }} – 100\) \(x = 41,42 = {m_2}\)\(maka,\) \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{69,32}}{{41,42}}\) \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = 1,67\) \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \cong 1,7\) |
| Jawaban | D. 1,7 |