Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
Periode Ujian |
: |
November 2017 |
Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Diberikan waktu kematian sebagai berikut pada sebuah studi mortalitas terhadap sekelompok orang yang berusia 65 tahun.
10 17 22 25 25
Sebuah distribusi dari waktu hingga kematian (time to death) dikonstruksikan menggunakan metode kepadatan kernel. Sebuah kernel seragam digunakan dengan bandwith 10. Hitunglah probabilitas kematian sebelum waktu 20 dengan menggunakan distribusi yang dihasilkan.
- 0,47
- 0,49
- 0,50
- 0,51
- 0,53
Diketahui |
Y ialah waktu hingga kematian (time to death)
\(Y \sim \) Kernel seragam (bandwith 10) |
Rumus yang digunakan |
- Kernel Seragam (b)
\(\hat F(x) = \sum {p({y_j}){K_{{y_j}}}(x)} \)
\({K_{{y_i}}}(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\,x < {y_j} – b\\ \frac{{x – {y_j} + b}}{{2b}},{y_j} – b < x < {y_j} + b\\ 1,x > {y_j} + b \end{array} \right.\)
\(p({y_j}) = \frac{1}{n}\)
|
Proses pengerjaan |
- Mencari \({K_{{y_i}}}(20)\) untuk setiap y
\({K_{{y_i}}}(20) = \frac{{20 – {y_j} + 10}}{{20}},\) \({y_j} – 10 < x < {y_j} + 10\)
\({y_j}\) |
10 |
17 |
22 |
25 |
25 |
\({K_{{y_i}}}(20)\) |
1 |
0,65 |
0,4 |
0,25 |
0,25 |
- Menghitung \(\hat F(20)\)
\(p({y_j}) = \frac{1}{5} \simeq 0,2\)
\(\hat F(20) = 0,2(1) + 0,2(0,65) + 0,2(0,4) + 0,2(0,25) + 0,2(0,25)\)
\(\hat F(20) = 0,51\)
|
Jawaban |
d. 0,51 |