Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
Periode Ujian |
: |
November 2014 |
Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Untuk soal no 7 dan 8. Data berikut menunjukkan data sampel acak dari sebuah distribusi X
7, 12, 15, 19, 26, 27, 29, 29, 30, 33, 38, 53
Apabila dari data tersebut dikenakan limit dari pembayaran asuransi sebesar 30. Dengan menggunakan data yang sudah diaplikasikan terhadap limit tersebut, hitung mean dari X diestimasi dengan maximum likelihood estimation untuk distribusi exponential ground up
- 26,5
- 35,5
- 36,5
- 40,5
Diketahui |
Data berikut menunjukkan data sampel acak dari sebuah distribusi X
7, 12, 15, 19, 26, 27, 29, 29, 30, 33, 38, 53 |
Rumus yang digunakan |
- \(L(\theta ) = \prod\nolimits_{i = 1}^n { = {{\left( {\frac{1}{\theta }} \right)}^n}} {e^{ – \frac{1}{\theta }\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\)
- \(l(\theta ) = \ln L(\theta )\)
|
Proses pengerjaan |
\(L(\theta ) = f(7) \cdot f(12) \cdot … \cdot f(29) \cdot {\left[ {1 – F(30)} \right]^4}\)
\(L(\theta ) = \left( {\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{1}{\theta }}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{{12}}{\theta }}}} \right) \cdot … \cdot \left( {\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{{29}}{\theta }}}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{{30}}{\theta }}}} \right)^4}\)
\(L(\theta ) = {\theta ^{ – 8}} \cdot {e^{ – \frac{{284}}{\theta }}}\)
\(l(\theta ) = \ln L(\theta ) = – 8ln(\theta ) – \frac{{284}}{\theta }\)
\(l'(\theta ) = – \frac{8}{\theta } + \frac{{284}}{{{\theta ^2}}} = 0\)
\(\hat \theta = \frac{{284}}{8} = 35,5\)
maka \(\bar X = \hat \theta = 35,5\) |
Jawaban |
b. 35,5 |