Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
6 |
SOAL
Diketahui :
- Banyaknya klaim tahunan pada suatu polis memiliki distribusi geometric dengan parameter \(\beta \)
- Distribusi prior dari \(\beta \) memiliki fungsi kepadatan Pareto:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {\pi \left( \beta \right) = \frac{\alpha }{{{{\left( {\beta + 1} \right)}^{\alpha + 1}}}},}&{0 < \beta < \infty } \end{array}\)
Dengan \(\alpha \) adalah konstanta diketahui lebih besar dari 2. Secara acak dipilih polis yang memiliki \(x\) klaim di tahun 1.
Tentukan estimasi kredibilitas Buhlmann atas banyaknya klaim dari polis yang terpilih di tahun kedua
- \(\frac{1}{{\alpha – 1}}\)
- \(\frac{{\alpha – 1}}{\alpha }x + \frac{1}{{\alpha \left( {\alpha – 1} \right)}}\)
- \(x\)
- \(\frac{{x + 1}}{\alpha }\)
- \(\frac{{x + 1}}{{\alpha – 1}}\)
| Diketahui |
- Banyaknya klaim tahunan pada suatu polis memiliki distribusi geometric dengan parameter \(\beta \)
- Distribusi prior dari \(\beta \) memiliki fungsi kepadatan Pareto:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {\pi \left( \beta \right) = \frac{\alpha }{{{{\left( {\beta + 1} \right)}^{\alpha + 1}}}},}&{0 < \beta < \infty } \end{array}\)
Dengan \(\alpha \) adalah konstanta diketahui lebih besar dari 2. Secara acak dipilih polis yang memiliki \(x\) klaim di tahun 1. |
| Rumus yang digunakan |
\(lat\begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ {aX + bY} \right] = aE\left[ X \right] + bE\left[ Y \right],}&{Var\left[ X \right] = E\left[ {{X^2}} \right] – {{\left( {E\left[ X \right]} \right)}^2}} \end{array}\)
Pareto: \(\begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\left( {\alpha – 1} \right)}},}&{E\left[ {{X^2}} \right] = \frac{{{\theta ^2}2!}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}}} \end{array}\)
Geometri: \(\begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ N \right] = \beta ,}&{Var\left[ N \right] = \beta \left( {1 + \beta } \right)} \end{array}\)
Buhlmann
\(\begin{array}{*{20}{c}} {k = \frac{v}{a},}&{Z = \frac{n}{{n + k}},}&{{P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu } \end{array}\) |
| Proses pengerjaan |
Distribusi prior Pareto dengan parameter \(\theta = 1\) dan \(\alpha \) menghasilkan
\(E\left[ \beta \right] = \frac{1}{{\alpha – 1}}\), \(E\left[ {{\beta ^2}} \right] = \frac{2}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}}\) dan
\(Var\left[ \beta \right] = \frac{2}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{1}{{\alpha – 1}}} \right)^2} = \frac{\alpha }{{{{\left( {\alpha – 1} \right)}^2}\left( {\alpha – 2} \right)}}\) |
|
Nilai ekspektasi dan varians dari hypothetical mean \(\beta \) (distribusi Pareto) adalah
\(\mu = \frac{1}{{\alpha – 1}}\) dan \(a = Var\left[ \beta \right] = \frac{\alpha }{{{{\left( {\alpha – 1} \right)}^2}\left( {\alpha – 2} \right)}}\) |
|
Nilai ekspektasi dari process varians \(\beta \) (distribusi geometri) adalah
\(v = E\left[ {Var\left( \beta \right)} \right] = E\left[ {\beta \left( {1 + \beta } \right)} \right] = E\left[ \beta \right] + E\left[ {{\beta ^2}} \right]\)
\(v = \frac{1}{{\alpha – 1}} + \frac{2}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} = \frac{\alpha }{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}}\) |
|
Estimasi Buhlmann \(k = \frac{v}{a} = \frac{\alpha }{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\alpha – 1} \right)}^2}\left( {\alpha – 2} \right)}}{\alpha } = \alpha – 1\)
Credibility factor untuk satu observasi \(Z = \frac{n}{{n + k}} = \frac{1}{{1 + \left( {\alpha – 1} \right)}}\)
\({P_C} = Z\bar x + \left( {1 – Z} \right)\mu = \left( {\frac{1}{\alpha }} \right)\left( x \right) + \left( {1 – \frac{1}{\alpha }} \right)\left( {\frac{1}{{\alpha – 1}}} \right) = \frac{{x + 1}}{\alpha }\) |
| Jawaban |
d. \(\frac{{x + 1}}{\alpha }\) |
