Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 3 - November 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2017
Nomor Soal	:	3

SOAL

Waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan (the time to an accident) mengikuti distribusi eksponensial. Rata-rata waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan dari sebuah sampel acak berukuran dua adalah 6. MisalkanY adalah rata-rata dari sampel baru berukuran dua.

Hitunglah taksiran maksimum likelihood dari \(P(Y > 10)\)

0,04
0,17
0,11
0,15
0,19

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\({Z_i}\) ialah waktu hingga terjadi suatu kecelakaan \({Z_i} \sim Eksponensial(\theta = 6)\) Y ialah rata-rata dari sampel baru \(Y = \frac{{{Z_1} + {Z_2}}}{2} = \frac{Z}{2}\)
Rumus yang digunakan	\(Z = {Z_1} + {Z_2}\) \({Z_1},{Z_2}\, \sim \,Eksponensial(\theta )\) \(f(z) = \int\limits_0^z {f({z_1})f(z – {z_1})d{z_1}} \) Distribusi Eksponensial \(f(x) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}\) \(P(X > x) = \int\limits_x^\infty {f(x)\,dx} \)
Proses Pengerjaan	Mencari fungsi densitas (PDF) dari Z \(f(z) = \int\limits_0^z {\frac{1}{6}{e^{ – \frac{{{z_1}}}{6}}}\left( {\frac{1}{6}{e^{ – \frac{{z – {z_1}}}{6}}}} \right)d{z_1}} \) \(f(z) = \frac{1}{{36}}{e^{ – \frac{z}{6}}}\int\limits_0^z {d{z_1}} \) \(f(z) = \frac{1}{{36}}z{e^{ – \frac{z}{6}}}\) Mencari \(P(Y > 10)\) \(P(Y > 10) = P\left( {\frac{Z}{2} > 10} \right)\) \(P(Y > 10) = P\left( {Z > 20} \right)\) \(P(Y > 10) = \int\limits_{20}^\infty {\frac{1}{{36}}z{e^{ – \frac{z}{6}}}} dz\) \(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}\left( {z\left( { – 6{e^{ – \frac{z}{6}}}} \right)\left\| {_{20}^\infty } \right. – \int\limits_{20}^\infty { – 6{e^{ – \frac{z}{6}}}} dz} \right)\) \(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}\left( {z\left( { – 6{e^{ – \frac{z}{6}}}} \right)\left\| {_{20}^\infty } \right. – 36{e^{ – \frac{z}{6}}}\left\| {_{20}^\infty } \right.} \right)\) \(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}\left( {\left( {0 + 20(6){e^{ – \frac{{20}}{6}}}} \right) – \left( {0 + 36{e^{ – \frac{{20}}{6}}}} \right)} \right)\) \(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}6{e^{ – \frac{{20}}{6}}}\left( {20 + 6} \right)\) \(P(Y > 10) = 0,1545873045\) \(P(Y > 10) \cong 0,15\)
Jawaban	d. 0,15

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 3 – November 2017