Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
3 |
SOAL
Waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan (the time to an accident) mengikuti distribusi eksponensial. Rata-rata waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan dari sebuah sampel acak berukuran dua adalah 6. MisalkanY adalah rata-rata dari sampel baru berukuran dua.
Hitunglah taksiran maksimum likelihood dari \(P(Y > 10)\)
- 0,04
- 0,17
- 0,11
- 0,15
- 0,19
| Diketahui |
- \({Z_i}\) ialah waktu hingga terjadi suatu kecelakaan
\({Z_i} \sim Eksponensial(\theta = 6)\)
- Y ialah rata-rata dari sampel baru
\(Y = \frac{{{Z_1} + {Z_2}}}{2} = \frac{Z}{2}\)
|
| Rumus yang digunakan |
- \(Z = {Z_1} + {Z_2}\)
\({Z_1},{Z_2}\, \sim \,Eksponensial(\theta )\)
\(f(z) = \int\limits_0^z {f({z_1})f(z – {z_1})d{z_1}} \)
- Distribusi Eksponensial
\(f(x) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}\)
- \(P(X > x) = \int\limits_x^\infty {f(x)\,dx} \)
|
| Proses Pengerjaan |
- Mencari fungsi densitas (PDF) dari Z
\(f(z) = \int\limits_0^z {\frac{1}{6}{e^{ – \frac{{{z_1}}}{6}}}\left( {\frac{1}{6}{e^{ – \frac{{z – {z_1}}}{6}}}} \right)d{z_1}} \)
\(f(z) = \frac{1}{{36}}{e^{ – \frac{z}{6}}}\int\limits_0^z {d{z_1}} \)
\(f(z) = \frac{1}{{36}}z{e^{ – \frac{z}{6}}}\)
- Mencari \(P(Y > 10)\)
\(P(Y > 10) = P\left( {\frac{Z}{2} > 10} \right)\)
\(P(Y > 10) = P\left( {Z > 20} \right)\)
\(P(Y > 10) = \int\limits_{20}^\infty {\frac{1}{{36}}z{e^{ – \frac{z}{6}}}} dz\)
\(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}\left( {z\left( { – 6{e^{ – \frac{z}{6}}}} \right)\left| {_{20}^\infty } \right. – \int\limits_{20}^\infty { – 6{e^{ – \frac{z}{6}}}} dz} \right)\)
\(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}\left( {z\left( { – 6{e^{ – \frac{z}{6}}}} \right)\left| {_{20}^\infty } \right. – 36{e^{ – \frac{z}{6}}}\left| {_{20}^\infty } \right.} \right)\)
\(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}\left( {\left( {0 + 20(6){e^{ – \frac{{20}}{6}}}} \right) – \left( {0 + 36{e^{ – \frac{{20}}{6}}}} \right)} \right)\)
\(P(Y > 10) = \frac{1}{{36}}6{e^{ – \frac{{20}}{6}}}\left( {20 + 6} \right)\)
\(P(Y > 10) = 0,1545873045\)
\(P(Y > 10) \cong 0,15\)
|
| Jawaban |
d. 0,15 |
