Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2015 |
| Nomor Soal |
: |
29 |
SOAL
Bupati Ngadirejo, sedang menyeleksi perusahaan asuransi umum baru yang akan masuk. Sesuai Perda tahun 2015, asuransi umum diijinkan beroperasi apabila variansi dari “conditional mean” tidak lebih dari 5.000. Diketahui perusahaan asuransi baru ini, bernama “terbatas” mempunyai catatan pengalaman besar risiko X dengan fungsi kepadatan peluang:
\(f(x){\rm{ }} = \frac{1}{\lambda }{e^{ – \frac{x}{\lambda }}},0 < x < \infty ,\lambda > 0\)
Distribusi prior dari \(\lambda \) diasumsikan mengikuti suatu distribusi dengan rataan 50 dan fungsi kepadatan peluang:
\(g(\lambda ){\rm{ }} = \frac{{500.000}}{{{\lambda ^4}}}{e^{ – {\rm{ }}\frac{{100}}{\lambda }}},0 < \lambda < \infty \)
Anda sebagai asisten bagian aktuaria dari bupati tersebut diminta melakukan analisis terhadap variansi dari “conditional mean”. Apa rekomendasi anda?
- Mengembalikan proposal karena nilai variansi tidak bisa dihitung
- Menolak proposal karena nilai variansi > 5.000
- Menimbang proposal karena nilai variansi tepat 5.000
- Menerima proposal karena nilai variansi > 2.000 akan tetapi kurang dari 5.000
- Menerima proposal karena nilai variansi < 2.000
| Diketahui |
\(\theta = 100\)
\(\alpha = 3\)
\(f(x){\rm{ }} = \frac{1}{\lambda }{e^{ – \frac{x}{\lambda }}},0 < x < \infty ,\lambda > 0\)
\(g(\lambda ){\rm{ }} = \frac{{500.000}}{{{\lambda ^4}}}{e^{ – {\rm{ }}\frac{{100}}{\lambda }}},0 < \lambda < \infty \) |
| Rumus yang digunakan |
\(Variansi = E[{\lambda ^2}] – {(E[\lambda ])^2}\)
\(E[\lambda ] = \frac{{\theta \cdot \Gamma (\alpha – 1)}}{{\Gamma (\alpha )}}\)
\(E[{\lambda ^2}] = \frac{{{\theta ^2} \cdot \Gamma (\alpha – 2)}}{{\Gamma (\alpha )}}\) |
| Proses pengerjaan |
Ekspetasi klaim adalah rata-rata dari distribusi eksponensial sebesar \(\lambda \)
Variansi dari \(\lambda \) adalah \(E[\lambda 2] – {(E[\lambda ])^2}\)
\(E[\lambda ] = \frac{{\theta \cdot \Gamma (\alpha – 1)}}{{\Gamma (\alpha )}} = \frac{{100 \cdot \Gamma (3 – 1)}}{{\Gamma (3)}} = \frac{{100 \cdot (1!)}}{{(2!)}} = 50\)
\(E[{\lambda ^2}] = \frac{{{\theta ^2} \cdot \Gamma (\alpha – 2)}}{{\Gamma (\alpha )}} = \frac{{100 \cdot \Gamma (3 – 2)}}{{\Gamma (3)}} = \frac{{100 \cdot (0!)}}{{(2!)}} = 50.000\)
Variansi dari “conditioanal mean” nya adalah \(5.000 – 502 = 2.500\)
Maka proposal akan diterima karena nilai variansi lebih dari 2.000 akan tetapi kurang dari 5.000 |
| Jawaban |
D. Menerima proposal karena nilai variansi > 2.000 akan tetapi kurang dari 5.000 |
