Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian | : | Juni 2015 |
| Nomor Soal | : | 15 |
SOAL
Suatu “fully discrete 2-payment, 3-year term insurance” dengan manfaat kematian 10.000 pada \(\left( x \right)\) diberikan:
- \(i = 0,05\)
- \({{q_x} = 0,1}\); \({{q_{ + 1}} = 0,15}\); \({{q_{x + 2}} = 0,20}\);
- Kematian adalah satu-satunya decrement
- Biaya yang dibayarkan pada saat awal tahun adalah:
| Tahun Polis | Per Polis | Per 1.000 dari Benefit Kematian | % dari Gross Premium |
| 1 | 25 | 4,5 | 20 |
| 2 | 10 | 1,5 | 10 |
| 3 | 10 | 1,5 | – |
- Biaya tambahan yang dibayarkan pada akhir tahun saat terjadi kematian, sebesar 20 per polis ditambahkan 1 per 1.000 dari manfaat kematian
- G adalah gross premium tahunan untuk asuransi ini
- Net single premium untuk asuransi ini adalah 3.499
Hitunglah nilai dari present value yang diharapkan semua biaya dalam G
- \(101,9 + 0,286G\)
- \(108,8 + 0,286G\)
- \(119,3 + 0,286G\)
- \(182,2 + 0,286G\)
- \(546,8 + 0,286G\)
| Diketahuui | Suatu “fully discrete 2-payment, 3-year term insurance” dengan manfaat kematian 10.000 pada \(\left( x \right)\) diberikan:- \(i = 0,05\)
- \({{q_x} = 0,1}\); \({{q_{ + 1}} = 0,15}\); \({{q_{x + 2}} = 0,20}\);
- Kematian adalah satu-satunya decrement
- Biaya yang dibayarkan pada saat awal tahun adalah:
| Tahun Polis | Per Polis | Per 1.000 dari Benefit Kematian | % dari Gross Premium | | 1 | 25 | 4,5 | 20 | | 2 | 10 | 1,5 | 10 | | 3 | 10 | 1,5 | – |
- Biaya tambahan yang dibayarkan pada akhir tahun saat terjadi kematian, sebesar 20 per polis ditambahkan 1 per 1.000 dari manfaat kematian
- G adalah gross premium tahunan untuk asuransi ini
- Net single premium untuk asuransi ini adalah 3.499
|
| Rumus yang digunakan | PV(expenses) = PV(fixed expenses) + PV(settlement expenses) + PV(fraction of premium expenses)
\({}_t{p_x} = 1 – {}_t{q_x}\); \({}_t{p_x} = \prod\limits_{k = 0}^{t – 1} {{p_{x + k}}} \); \({\ddot a_{x:\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{b_{k + 1}} \cdot {v^k} \cdot {}_k{p_x}} \)
\(A_{x:\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }^1 = b \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \); \({\ddot a_{x:}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_{k + 1}} \cdot {v^k} \cdot {}_k{p_x}} \) |
| Proses Pengerjaan | Fixed expenses Karena manfaat kematian 10,000 maka untuk per 1000 kematian dikali 10
Biaya yang dibayarkan - Tahun pertama: \(25 + 4.5\left( {10} \right) = 70\)
- Tahun Kedua dan Ketiga: \(10 + 1.5\left( {10} \right) = 25\)
\({{\ddot a}_x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_{k + 1}} \cdot {v^k} \cdot {}_k{p_x}} \)
\({{\ddot a}_x} = {b_1} \cdot {v^0} \cdot {}_0{p_x} + {b_2} \cdot v \cdot {p_x} + {b_3} \cdot {v^2} \cdot {}_2{p_x} + 0\)
\({{\ddot a}_x} = {b_1} + {b_2} \cdot v \cdot {p_x} + {b_3} \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {p_{x + 1}}\)
\({{\ddot a}_x} = 70 + \frac{{25\left( {0.90} \right)}}{{1.05}} + \frac{{25\left( {0.90} \right)\left( {0.85} \right)}}{{{{1.05}^2}}}\)
\({{\ddot a}_x} = 108.7755\) |
| Settlement Expenses Biaya yang dibayarkan per kematian \(20 + \frac{{10,000}}{{1000}} = 30\)
\(A_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }^1 = b \cdot \sum\limits_{k = 0}^2 {{v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
\(A_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }^1 = b\left[ {v \cdot {}_0{p_x} \cdot {q_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {q_{x + 1}} + {v^3} \cdot {}_2{p_x} \cdot {q_{x + 2}}} \right]\)
\(A_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }^1 = 30\left( {\frac{{0.1}}{{1.05}} + \frac{{\left( {0.90} \right)\left( {0.15} \right)}}{{{{1.05}^2}}} + \frac{{\left( {0.90} \right)\left( {0.85} \right)\left( {0.20} \right)}}{{{{1.05}^3}}}} \right)\)
\(A_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }^1 = 10.4956\) |
| Fraction of Premium Expenses
\(G \cdot {{\ddot a}_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }} = G \cdot \sum\limits_{k = 0}^2 {{b_{k + 1}} \cdot {v^k} \cdot {}_k{p_x}} \)
\(G \cdot {{\ddot a}_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }} = \left( {{b_1} \cdot {v^0} \cdot {}_0{p_x} + {b_2} \cdot v \cdot {p_x} + {b_3} \cdot {v^2} \cdot {}_2{p_x}} \right)G \)
\(G \cdot {{\ddot a}_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }} = \left( {\frac{{20}}{{100}} + \frac{{\left( {\frac{{10}}{{100}}} \right)\left( {0.90} \right)}}{{1.05}} + 0} \right)G\)
\(G \cdot {{\ddot a}_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }} = 0.286G\) |
| PV(expenses)
\(= {{\ddot a}_x} + A_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }^1 + G \cdot {{\ddot a}_{x:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }}\)
\(= 108.7755 + 10.4956 + 0.286G\)
\(= 119.2711 + 0.286G\) |
| Jawaban | c. \(119,3 + 0,286G\) |
