Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Metoda Statistika |
| Periode Ujian | : | November 2017 |
| Nomor Soal | : | 13 |
SOAL
Diketahui:
-
- Studi mortalita dilakukan atas sejumlah \(n\) orang.
- Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yang sama
- \({t_k} = \)Saat kejadian meninggal ke-\(k\)
- Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada \({t_2}\) adalah \(\hat \Lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{{55}}{{756}}\)
Hitunglah estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi survival pada \({t_{10}}\).
- 0,52
- 0,55
- 0,64
- 0,69
- 0,78
| Diketahui | - Studi mortalita dilakukan atas sejumlah \(n\) orang.
- Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yang sama
- \({t_k} = \)Saat kejadian meninggal ke-\(k\)
- Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada \({t_2}\) adalah \(\hat \Lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{{55}}{{756}}\)
|
| Rumus yang digunakan | \(\hat \Lambda \left( {{t_k}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^k {\frac{1}{{{r_j}}}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n – 1}} + \cdots + \frac{1}{{n – k + 1}},\) \({t_k} \le t < {t_{k + 1}}\)
\(\hat S\left( {{t_k}} \right) = \prod\limits_{j = 1}^k {\left( {\frac{{{r_j} – {d_j}}}{{{r_j}}}} \right)} {\rm{ }}\) untuk \({t_k} \le t < {t_{k + 1}}\) |
| Proses Pengerjaan | \(\hat \Lambda \left( {{t_2}} \right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n – 1}}\)
\(\frac{{55}}{{756}} = \frac{{2n – 1}}{{{n^2} – n}}\)
\(55{n^2} – 55n = 1512n – 756\)
\(55{n^2} – 1567n + 756 = 0\)
\(\left( {55n – 27} \right)\left( {n – 28} \right) = 0\)
\(n = \frac{{27}}{{55}}\) atau \(n = 28\) dipilih \(n = 28\)
\(\hat S\left( {{t_{10}}} \right) = \frac{{27}}{{28}} \cdot \frac{{26}}{{27}} \cdot \frac{{25}}{{26}} \cdot \frac{{24}}{{25}} \cdot \frac{{23}}{{24}} \cdot \frac{{22}}{{23}} \cdot \frac{{21}}{{22}} \cdot \frac{{20}}{{21}} \cdot \frac{{19}}{{20}} \cdot \frac{{18}}{{19}}\)
\(= \frac{{18}}{{28}}\)
\(= 0,642857\) |
| Jawaban | c. 0,64 |
