Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian | : | Probabilitas dan Statistika |
Periode Ujian | : | November 2018 |
Nomor Soal | : | 17 |
SOAL
Kerugian yang terkait dengan cuaca tahunan pada suatu perusahaan Asuransi, yaitu X, adalah suatu variabel acak dengan fungsi densitas sebagai berikut :
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2,5{{(200)}^{2,5}}}}{{{x^{3,5}}}} & untuk\,x \ge 200\\ 0 & & untuk\,lainnya \end{array} \right.\)
Hitunglah selisih antara percentile ke-70 dengan percentile ke-30 dari X. (pembulatan terdekat)
- 35
- 93
- 124
- 131
- 298
Step 1 | \(F(x) = \int\limits_0^x {f(x)dx} \)
\(F(x) = \int\limits_0^x {\frac{{2,5{{(200)}^{2,5}}}}{{{x^{3,5}}}}dx} \)
\(F(x) = 2,5{(200)^{2,5}}\int\limits_0^x {{x^{ – 3,5}}dx} \)
\(F(x) = \frac{{2,5{{(200)}^{2,5}}}}{{2,5}}{x^{ – 2,5}}\)
\(F(x) = {(200)^{2,5}}{x^{ – 2,5}}\) |
Step 2 | Percentile ke-70,
\(F({\pi _{0,7}}) = 0,7\)
\(F({\pi _{0,7}}) = {(200)^{2,5}}{({\pi _{0,7}})^{ – 2,5}}\)
\(0,7 = {(200)^{2,5}}{({\pi _{0,7}})^{ – 2,5}}\)
\({\pi _{0,7}} = {\left( {\frac{{0,7}}{{{{(200)}^{2,5}}}}} \right)^{\frac{1}{{ – 2,5}}}}\)
\({\pi _{0,7}} = 230,6698216\) |
Step 3 | Percentile ke-30,
\(F({\pi _{0,3}}) = 0,3\)
\(F({\pi _{0,3}}) = {(200)^{2,5}}{({\pi _{0,3}})^{ – 2,5}}\)
\(0,3 = {(200)^{2,5}}{({\pi _{0,3}})^{ – 2,5}}\)
\({\pi _{0,3}} = {\left( {\frac{{0,3}}{{{{(200)}^{2,5}}}}} \right)^{\frac{1}{{ – 2,5}}}}\)
\({\pi _{0,3}} = 323,7289166\) |
Maka | Selisih antara percentile ke-70 dengan percentile ke-30 dari X,
\({\pi _{0,3}} – {\pi _{0,7}} = 323,7289166 – 230,6698216\)
\({\pi _{0,3}} – {\pi _{0,7}} = 93,05909495\)
\({\pi _{0,3}} – {\pi _{0,7}} \cong 93\) |
Jawaban | b. 93 |