Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
7 |
SOAL
Sebuah perpetuitas memberikan pembayaran sebesar 1000 setiap akhir tahun yang bukan kabisat dan 2500 setiap akhir tahun kabisat. Tahun kabisat adalah tahun yang dapat dibagi dengan 4. Sebagai ilustrasi: perpetuitas ini akan membayarkan 1000 di akhir tahun ke 2019, 2021, 2022, 2023, 2025 dst dan membayarkan 2500 di akhir tahun ke 2020, 2024, 2028, 2032, dst. Jika tingkat bunga efektif tahunan yang berlaku adalah 8%, maka nilai kini (present value) dari perpetuitas ini pada 1 Januari 2019 adalah…
- 15.412
- 16.067
- 16.661
- 17.353
- 17.927
| Diketahui |
• Pembayaran 1000 pada akhir tahun yang bukan kabisat
• Pembayaran 2500 pada akhir tahun kabisat
• \(i = 0,08\)
• \(j = {\left( {1,08} \right)^4} – 1 = 0,36049\) |
| Rumus |
\({a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| i}} = \frac{1}{i}\) |
| Langkah Pengerjaan |
\(PV = 2500 + 1000v + 1000{v^2} + 1000{v^3} + 2500{v^4} + 1000{v^5} + …\)
\(= \underbrace {1000\left( {{v^1} + {v^2} + {v^3} + {v^4} + {v^5} + …} \right)}_a + \underbrace {1500\left( {{v^0} + {v^4} + {v^8} + …} \right)}_b\)
Ini berarti: pembayaran 1000 disetiap tahun, ditambah 1500 disetiap akhir tahun kabisat (agar totalnya 2500). Mengapa demikian? Karena uang 1000nya sudah dimasukkan dalam perhitungan a. Sehingga pada peritungan b (tahun kabisat), tersisa 1500, kemudian dikalikan dengan bunganya
\(= 1000 \cdot {a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| i}} + 1500 \cdot {a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| j}}\)
\(= 1000 \cdot {a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| 0,08}} + 1500 \cdot {a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| 0,36049}}\)
\(= 1000\left( {\frac{1}{{0,08}}} \right) + 1500\left( {\frac{1}{{0,36049}}} \right)\)
\(= 12.500 + 4.161 = 16.661\)
REVISI:
\(PV = 1000v + 2500{v^2} + 1000{v^3} + 1000{v^4} + 1000{v^5} + 2500{v^6} + 1000{v^7} + …\)
\(= 1000\left( {v + {v^2} + {v^3} + {v^4} + {v^5} + {v^6} + …} \right) – 1000\left( {{v^2} + {v^6} + {v^{10}} + …} \right)\)
\(+ 2500\left( {{v^2} + {v^6} + {v^{10}} + …} \right)\)
\(= \frac{{1000 \cdot v}}{{\left( {1 – v} \right)}} + \frac{{1500 \cdot {v^2}}}{{\left( {1 – {v^4}} \right)}}\)
\(= \frac{{1000\left( {{{1,08}^{ – 1}}} \right)}}{{\left( {1 – \left( {{{1,08}^{ – 1}}} \right)} \right)}} + \frac{{1500\left( {{{1,08}^{ – 2}}} \right)}}{{\left( {1 – \left( {{{1,08}^{ – 4}}} \right)} \right)}}\)
\(= 12.500 + 4.853 = 17.535\) |
| Jawaban |
d. 17.535 |
Mohon maaf untuk soal itu jawaban yang benar adalah D karena kita baru bayar 2500 itu di akhir tahun 2020 dan pola pembayarannya adalah:
1000 2500 1000 1000 1000 2500 1000 …
sehingga perpetuitasnya:
PV=1000(v+v^3+v^4+v^5+v^7+…)+2500(v^2+v^6+v^10+…)
=1000(v+v^2+v^3+v^4+…)-1000(v^2+v^6+v^10+…)+2500(v^2+v^6+v^10+…)
=1000v/(1-v)+1500v^2/(1-v^4)
=1000(1.08^-1/(1-(1.08)^-1)+1500(1.08^-2/(1-(1.08)^-4))
=17353.40794=17353 (D)
Sekian koreksinya terima kasih
dear sdr. Dickson Dichandra,
terima kasih atas koreksinya, setelah kami cek ulang ternyata penjabaran saudara benar.
kami akan melakukan koreksi atas pembahasan ini segera.