Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
| Periode Ujian |
: |
November 2015 |
| Nomor Soal |
: |
29 |
SOAL
Pada tingkat bunga tahunan efektif sebesar i, dimana i> 0, anuitas berikut memiliki nilai sekarang sebesar X:
- Anuitas akhir selama 20 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar 55
- Anuitas akhir selama 30 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar 30 untuk 10 tahun pertama, sebesar USD 60 untuk sepuluh tahun kedua dan sebesar 90 untuk sepuluh tahun
Hitunglah berapa nilai dari X! (pembulatan terdekat)
- 575
- 585
- 595
- 605
- 615
| Diketahui |
- Anuitas akhir selama 20 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar 55
- Anuitas akhir selama 30 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar 30 untuk 10 tahun pertama, sebesar USD 60 untuk sepuluh tahun kedua dan sebesar 90 untuk sepuluh tahun terakhir.
|
| Rumus yang digunakan |
PV metode (i) = PV metode (ii) |
| Proses pengerjaan |
\(X = 55{a_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| i}}\)
\(55{a_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| i}} = 30{a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| i}} + 60{a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| i}}{v^{10}} + 90{a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| i}}{v^{20}}\)
\(55\left( {\frac{{1 – {v^{20}}}}{i}} \right) = 30\left( {\frac{{1 – {v^{10}}}}{i}} \right) + 60\left( {\frac{{1 – {v^{10}}}}{i}} \right){v^{10}} + 90\left( {\frac{{1 – {v^{10}}}}{i}} \right){v^{20}}\)
\(11\left( {1 – {v^{20}}} \right) = 6\left( {1 – {v^{10}}} \right) + 12\left( {1 – {v^{10}}} \right){v^{10}} + 18\left( {1 – {v^{10}}} \right){v^{20}}\)
\(11\left( {1 – {v^{20}}} \right) = \left( {1 – {v^{10}}} \right)\left( {6 + 12{v^{10}} + 18{v^{20}}} \right)\)
\(11\left( {1 – {v^{10}}} \right)\left( {1 + {v^{10}}} \right) = \left( {1 – {v^{10}}} \right)\left( {6 + 12{v^{10}} + 18{v^{20}}} \right)\)
\(11\left( {1 + {v^{10}}} \right) = \left( {6 + 12{v^{10}} + 18{v^{20}}} \right)\)
\(11 + 11{v^{10}} = 6 + 12{v^{10}} + 18{v^{20}}\)
\(18{v^{20}} + {v^{10}} – 5 = 0\)
\((2{v^{10}} – 1)(9{v^{10}} + 5) = 0\)
\(2{v^{10}} = 1\)
\({v^{10}} = \frac{1}{2}\)
\(i = 0,07177 = 7,177\% \)
\(X = 55{a_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| 7,177\% }}\)
\(X = 574,74 \approx 575\) |
| Jawaban |
a. 575 |
