Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 8 - November 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	November 2017
Nomor Soal	:	8

SOAL

Suatu perusahaan XYZ memiliki dua generator listrik. Waktu hingga masing-masing generator tersebut rusak mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10. Perusahaan XYZ baru akan menggunakan generator kedua sesaat setelah generator pertama mengalami kerusakan. Berapa variansi dari total waktu kedua generator tersebut menghasilkan listrik?

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	X1 ialah waktu hingga generator pertama rusak X2 ialah waktu hingga generator kedua rusak X1 ~ eksponensial (mean = 10) X2 ~ eksponensial (mean = 10)
Step 1	\({\theta _1} = {\theta _2} = 10\) \(E[X] = \theta = 10\) \(E[X] = \int\limits_0^\infty {x(f(x))dx} \) \(E[X] = \int\limits_0^\infty {x(\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}})dx} \) \(E[X] = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^\infty {x({e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx} \) \(\int\limits_0^\infty {x({e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx} = 10(E[X])\)\(E[{X^2}] = \int\limits_0^\infty {{x^2}} (\frac{1}{{10}}{e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx\) \(E[{X^2}] = \int\limits_0^\infty {{x^2}} (\frac{1}{{10}}{e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx\) \(E[{X^2}] = {x^2}( – {e^{ – \frac{x}{{10}}}})\|_0^\infty – \int\limits_0^\infty {( – {e^{ – \frac{x}{{10}}}})(2} x)dx\) \(E[{X^2}] = 0 + 2\int\limits_0^\infty {x({e^{ – \frac{x}{{10}}}})} dx\) \(E[{X^2}] = 2(10(E[X]))\) \(E[{X^2}] = 2(10(10))\) \(E[{X^2}] = 200\) \(Var[X] = E[{X^2}] – E{[X]^2}\) \(Var[X] = 200 – {(10)^2}\) \(Var[X] = 100\)
Step 2	Mesin dikerjakan satu persatu \(Var[{X_1} + {X_2}] = Var[{X_1}] + Var[{X_2}]\) \(Var[{X_1} + {X_2}] = 100 + 100\) \(Var[{X_1} + {X_2}] = 200\)
Jawaban	E. 200

Trending Topic

Leave A Comment Cancel reply

Most View

Random Post