Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Suatu perusahaan XYZ memiliki dua generator listrik. Waktu hingga masing-masing generator tersebut rusak mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10. Perusahaan XYZ baru akan menggunakan generator kedua sesaat setelah generator pertama mengalami kerusakan. Berapa variansi dari total waktu kedua generator tersebut menghasilkan listrik?
- 10
- 20
- 50
- 100
- 200
PEMBAHASAN
| Diketahui |
X1 ialah waktu hingga generator pertama rusak
X2 ialah waktu hingga generator kedua rusak
X1 ~ eksponensial (mean = 10)
X2 ~ eksponensial (mean = 10) |
| Step 1 |
\({\theta _1} = {\theta _2} = 10\)
\(E[X] = \theta = 10\)
\(E[X] = \int\limits_0^\infty {x(f(x))dx} \)
\(E[X] = \int\limits_0^\infty {x(\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}})dx} \)
\(E[X] = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^\infty {x({e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx} \)
\(\int\limits_0^\infty {x({e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx} = 10(E[X])\)\(E[{X^2}] = \int\limits_0^\infty {{x^2}} (\frac{1}{{10}}{e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx\)
\(E[{X^2}] = \int\limits_0^\infty {{x^2}} (\frac{1}{{10}}{e^{ – \frac{x}{{10}}}})dx\)
\(E[{X^2}] = {x^2}( – {e^{ – \frac{x}{{10}}}})|_0^\infty – \int\limits_0^\infty {( – {e^{ – \frac{x}{{10}}}})(2} x)dx\)
\(E[{X^2}] = 0 + 2\int\limits_0^\infty {x({e^{ – \frac{x}{{10}}}})} dx\)
\(E[{X^2}] = 2(10(E[X]))\)
\(E[{X^2}] = 2(10(10))\)
\(E[{X^2}] = 200\)
\(Var[X] = E[{X^2}] – E{[X]^2}\)
\(Var[X] = 200 – {(10)^2}\)
\(Var[X] = 100\) |
| Step 2 |
Mesin dikerjakan satu persatu
\(Var[{X_1} + {X_2}] = Var[{X_1}] + Var[{X_2}]\)
\(Var[{X_1} + {X_2}] = 100 + 100\)
\(Var[{X_1} + {X_2}] = 200\) |
| Jawaban |
E. 200 |
