Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 4 - November 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2017
Nomor Soal	:	4

SOAL

Gunakan informasi berikut untuk soal nomor 3 dan 4.

Waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan (the time to an accident) mengikuti distribusi eksponensial. Rata-rata waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan dari sebuah sampel acak berukuran dua adalah 6. Misalkan Y adalah rata-rata dari sampel baru berukuran dua.
Gunakan metode delta untuk melakukan aproksimasi terhadap variansi dari taksiran maksimum likelihood dari \({F_Y}(10)\).

0,08
0,12
0,16
0,19
0,22

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\(\hat \theta = 6.\)
Rumus yang digunakan	\(Var(\hat \theta ){\rm{ }} = Var(\bar X){\rm{ }} =\frac{{{\theta ^2}}}{n}\) \(Var({F_Y}(10)){\rm{ }} = Var(\hat \theta ){\left( {F{‘_Y}(10)} \right)^2}\)
Proses pengerjaan	Berdasarkan soal nomor 3 diketahui: \({F_Y}(10){\rm{ }} = 1 – P(Y > 10){\rm{ }} = 1 – \frac{1}{\theta }{e^{ – 20/\theta }}(20 + \theta ).{\rm{ }}\) untuk mencari variansi menggunakan delta method diperukan \(Var(\hat \theta )\) dan \({{F’}_Y}(10)\) \(Var(\hat \theta ){\rm{ }} = Var(\bar X){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^2}}}{n}\) \({{F’}_Y}(10) = \frac{d}{{dx}}{F_Y}(10){\rm{ }} = – {\rm{}}\frac{{400}}{{{\theta ^3}}}{e^{ – 20/\theta }}\) sehingga \(Var({F_Y}(10)){\rm{ }} = Var(\hat \theta ){\left( {F{‘_Y}(10)} \right)^2}\) \(Var({F_Y}(10)){\rm{ }} = \frac{{{{\hat \theta }^2}}}{n}\left( { – {\rm{ }}\frac{{400}}{{{\theta ^3}}}{e^{ – 20/\theta }}} \right) = 0,0786 \approx 0,08\)
Jawaban	A. 0,08

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 4 – November 2017