A70 - Pemodelan dan Teori RisikoAktuariaEdukasi

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 15 – November 2018

By Fery Widhiatmoko On Aug 29, 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Pemodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2018
Nomor Soal	:	15

SOAL

Diketahui:

Frekuensi banyaknya klaim mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata \(\lambda \)
Severity klaim mengikuti distribusi lognormal dengan parameter \(\mu \) dan \(\sigma \)
Frekuensi banyaknya klaim dan nilai severity klaim saling bebas
Distribusi prior memiliki fungsi peluang kepadatan gabungan
\(\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {\lambda ,\mu ,\sigma } \right) = 2\sigma ,}&{0 < \lambda < 1,}&{0 < \mu < 1,}&{0 < \sigma < 1} \end{array}\)

Hitung standard kredibilitas Buhlman \(k\) untuk aggregate loss

1,69
2,69
4,69
6,69
8,69

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	Frekuensi banyaknya klaim mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata \(\lambda \) Severity klaim mengikuti distribusi lognormal dengan parameter \(\mu \) dan \(\sigma \) Frekuensi banyaknya klaim dan nilai severity klaim saling bebas Distribusi prior memiliki fungsi peluang kepadatan gabungan \(\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {\lambda ,\mu ,\sigma } \right) = 2\sigma ,}&{0 < \lambda < 1,}&{0 < \mu < 1,}&{0 < \sigma < 1} \end{array}\)
Rumus yang digunakan	Poison : \(E\left[ N \right] = \lambda \) dan Lognormal: \(E\left[ {{X^k}} \right] = \exp \left( {k\mu + \frac{{{k^2}{\sigma ^2}}}{2}} \right)\) \(k = \frac{v}{a}\) \(v = E\left[ {v\left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {Var\left( {\left. {{X_j}} \right\|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari process varians \(a = Var\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = Var\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right\|\Theta } \right)} \right]\) varians dari hypothetical mean
Proses pengerjaan	Diperoleh Hypothetical Mean \(\lambda {e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}\) dan Process Varians \(\lambda {e^{2\mu + 2{\sigma ^2}}}\) Karena \(\lambda \), \(\mu \), dan \(\sigma \) saling bebas ma ka kita bisa menghitungnya secara terpisah
	\(E\left[ {HM} \right] = E\left[ {\lambda {e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}} \right] = E\left[ \lambda \right]E\left[ {{e^\mu }} \right]E\left[ {{e^{\frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}} \right]\) \(E\left[ {HM} \right] = \int\limits_0^1 {\lambda d\lambda } \int\limits_0^1 {{e^\mu }d\mu } \int\limits_0^1 {2\sigma {e^{\frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}d\sigma } \) \(E\left[ {HM} \right] = \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {e – 1} \right)\left( 2 \right)\left( {{e^{\frac{1}{2}}} – 1} \right) = 1.114686\) \(E\left[ {H{M^2}} \right] = E\left[ {{\lambda ^2}} \right]E\left[ {{e^{2\mu }}} \right]E\left[ {{e^{{\sigma ^2}}}} \right]\) \(E\left[ {H{M^2}} \right] = \int\limits_0^1 {{\lambda ^2}d\lambda } \int\limits_0^1 {{e^{2\mu }}d\mu } \int\limits_0^1 {2\sigma {e^{{\sigma ^2}}}d\sigma } \) \(E\left[ {H{M^2}} \right] = \left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {\frac{{{e^2} – 1}}{2}} \right)\left( {e – 1} \right) = 1.829700\) \(a = Var\left[ {HM} \right] = 1.829700 – {1.114686^2} = 0.587175\)
	\(E\left[ {PV} \right] = E\left[ \lambda \right]E\left[ {{e^{2\mu }}} \right]E\left[ {{e^{2{\sigma ^2}}}} \right]\) \(E\left[ {PV} \right] = \int\limits_0^1 {\lambda d\lambda } \int\limits_0^1 {{e^{2\mu }}d\mu } \int\limits_0^1 {2\sigma {e^{2{\sigma ^2}}}d\sigma } \) \(v = E\left[ {PV} \right] = \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{{{e^2} – 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{{e^2} – 1}}{2}} \right) = 5.102505\)
	\(k = \frac{v}{a} = \frac{{5.102505}}{{0.587175}} = 8.6899\)
Jawaban	e. 8,69

A70 Aktuaria Edukasi PAI Pemodelan dan Teori Risiko Ujian Profesi Aktuaris

Fery Widhiatmoko 564 posts 11 comments

Merupakan lulusan Magister Matematika minat Aktuaria dari Universitas Gadjah Mada.

Prev Post

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 14 – November 2018

Next Post

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 16 – November 2018

Leave A Reply