Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
22 |
SOAL
Misalkan \(X\) adalah variabel acak untuk umur pada saat kematian.
Jika diasumsikan \(X\) mengikuti hukum de Moivre (berdistribusi uniform) dengan \(\omega = 100.\)
Hitunglah \({}_{15}{m_{30}}\).
- 0,016
- 0,025
- 0,036
- 0,039
- 0,042
| Diketahui |
\(X\) mengikuti hukum de Moivre (berdistribusi uniform) dengan \(\omega = 100.\) |
| Rumus yang digunakan |
\(\mu \left( x \right) = \frac{1}{{\omega – x}}\)
\(S\left( x \right) = \frac{{\omega – x}}{\omega }\)
\({}_n{m_x} = \frac{{\int_0^n {S\left( {x + t} \right)\mu \left( {x + t} \right)dt} }}{{\int_0^n {S\left( {x + t} \right)dt} }}\) |
| Proses pengerjaan |
\(\mu \left( x \right) = \frac{1}{{100 – x}}\) dan \(S\left( x \right) = \frac{{100 – x}}{{100}}\)
\({}_{15}{m_{30}} = \frac{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)\mu \left( {30 + t} \right)dt} }}{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)dt} }}\)
\(\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)\mu \left( {30 + t} \right)dt} = \int_0^{15} {\frac{{70 – t}}{{100}} \cdot \frac{1}{{70 – t}}dt} \)
\(= \int_0^{15} {\frac{1}{{100}}dt} \)
\(= \frac{3}{{20}}\)
\(\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)dt} = \int_0^{15} {\frac{{70 – t}}{{100}}dt} \)
\(= \left. {\frac{{70t – \frac{{{t^2}}}{2}}}{{100}}} \right|_0^{15}\)
\(= \frac{{75}}{8}\)
\({}_{15}{m_{30}} = \frac{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)\mu \left( {30 + t} \right)dt} }}{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)dt} }} = \frac{3}{{20}} \cdot \frac{8}{{75}}\)
\(= 0,016\) |
| Jawaban |
a. 0,016 |
