Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
15 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut
- Kerugian berdistribusi Pareto dengan parameter \(\theta \) (tidak diketahui) dan \(\alpha \) = 3.
- Sebanyak 300 kerugian telah diamati.
Hitunglah variansi dari \(\tilde \theta \), taksiran dari \(\theta \) dengan menggunakan metode moment.
- 0,0025\({\theta ^2}\)
- 0,0033\({\theta ^2}\)
- 0,0050\({\theta ^2}\)
- 0,0100\({\theta ^2}\)
- 0,0133\({\theta ^2}\)
| Diketahui |
- Kerugian berdistribusi Pareto dengan parameter \(\theta \) (tidak diketahui) dan \(\alpha \) = 3.
- Sebanyak 300 kerugian telah diamati.
|
| Rumus yang digunakan |
- \(Var(X){\rm{ }} = E({X^2}) – {(E(X))^2}\)
- \(\bar X = E(X){\rm{ }}\)
- \(Var(\tilde \theta ){\rm{ }} = Var(2\bar X)\)
|
| Proses pengerjaan |
\(Var(X) = E({X^2}) – {(E(X))^2}\)
\(Var(X){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^2}\Gamma (2 + 1)\Gamma (3 – 2)}}{{\Gamma (3)}} = \frac{{{\theta ^2}2!1}}{{2!}} – {\left( {\frac{{\theta \Gamma (2)\Gamma (3 – 1)}}{{\Gamma (3)}}} \right)^2}\)
\(Var(X){\rm{ }} = \frac{3}{4}{\theta ^2}\)
Estimasi \(\theta \) menggunakan metode moment adalah:
\(\bar X = E(X){\rm{ }} = \frac{\theta }{2}\)
\(\tilde \theta = 2\bar X\)
Variansi dari \({\tilde \theta }\) dapat dihitung dengan:
\(Var(\tilde \theta ){\rm{ }} = Var(2\bar X){\rm{ }} = \frac{4}{n}Var\left( {{X_i}} \right)\)
\(Var(\tilde \theta ){\rm{ }} = Var(2\bar X){\rm{ }} = \frac{4}{n}\frac{3}{4}\theta {}^2 = \frac{3}{{300}}\theta {}^2 = 0,01\theta {}^2\) |
| Jawaban |
D. 0,0100\({\theta ^2}\) |
