Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | April 2019 |
| Nomor Soal | : | 14 |
SOAL
Diberikan dua estimator saling bebas untuk suatu parameter \(\theta \). Untuk estimator A, \(E\left( {{{\hat \theta }_A}} \right) = 1.000\) dan \(Var\left( {{{\hat \theta }_A}} \right) = 160.000\), sedangkan estimator B, \(E\left( {{{\hat \theta }_B}} \right) = 1.200\) dan \(Var\left( {{{\hat \theta }_B}} \right) = 40.000\). Estimator C ialah rata-rata tertimbang dari fungsi sebagai berikut
\({\hat \theta _C} = w{\hat \theta _A} + \left( {1 – w} \right){\hat \theta _B}\)
Tentukan nilai \(w\) untuk meminimalkan \(Var\left( {{{\hat \theta }_C}} \right)\)
- 0,5
- 0,6
- 0,2
- 1,2
- 2,2
| Diketahui | - Diberikan dua estimator saling bebas untuk suatu parameter \(\theta \).
- Untuk estimator A, \(E\left( {{{\hat \theta }_A}} \right) = 1.000\) dan \(Var\left( {{{\hat \theta }_A}} \right) = 160.000\), sedangkan estimator B, \(E\left( {{{\hat \theta }_B}} \right) = 1.200\) dan \(Var\left( {{{\hat \theta }_B}} \right) = 40.000\).
- Estimator C ialah rata-rata tertimbang dari fungsi sebagai berikut
\({\hat \theta _C} = w{\hat \theta _A} + \left( {1 – w} \right){\hat \theta _B}\) |
| Rumus yang digunakan | \(Var\left[ {a + bX + cY} \right] = {b^2}Var\left[ X \right] + {c^2}Var\left[ Y \right]\)
Titik maksimal atau minimal: \(\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 0\) |
| Proses pengerjaan | \(Var\left( {{{\hat \theta }_C}} \right) = Var\left[ {w{{\hat \theta }_A} + \left( {1 – w} \right){{\hat \theta }_B}} \right]\)
\(Var\left( {{{\hat \theta }_C}} \right) = {w^2}Var\left[ {{{\hat \theta }_A}} \right] + {\left( {1 – w} \right)^2}Var\left[ {{{\hat \theta }_B}} \right]\)
\(Var\left( {{{\hat \theta }_C}} \right) = {w^2}\left( {160,000} \right) + \left( {1 – 2w + {w^2}} \right)\left( {40,000} \right)\)
\(Var\left( {{{\hat \theta }_C}} \right) = 200,000{w^2} – 80,000w + 40,000\) Untuk mencari nilai \(w\) supaya \(Var\left( {{{\hat \theta }_C}} \right)\) bernilai minimal kita bisa menurunkannya
\(400,000w – 80,000 = 0\)
\(w = 0.2\) |
| Jawaban | c. 0,2 |
