Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
1 |
SOAL
Sebuah manfaat perawatan gigi dirancang dengan deductible sebesar 100 untuk klaim perawatan gigi tahunan. Penggantian pembayaran (reimbursement) ke tertanggung adalah sebesar 80% dari klaim perawatan gigi setelah deductible dan maksimum penggantian pembayaran tahunan adalah 1.000. Diberikan data sebagai berikut:
- Klaim perawatan gigi tahunan untuk setiap tertanggung berdistribusi exponensial dengan rata – rata 1.000.
- Gunakan bilangan acak uniform (0,1) berikut dan gunakan metode inversi untuk menghasilkan empat nilai klaim perawatan gigi tahunan.
0,30 0,92 0,70 0,08
Hitunglah rata-rata penggantian pembayaran tahunan untuk simulasi ini.
- 522
- 696
- 757
- 947
- 1. 042
| Diketahui |
- X ialah klaim perawatan gigi tahunan
\(X \sim Exponential(\theta = 1.000)\)
- Y ialah penggantian pembayaran (reimbursement) perawatan gigi tahunan
\(Y = 0,8\left( {X – 100} \right)\) \(X > 100,Y < 1.000\)
- Nilai X diketahui menggunakan metode inversi dengan bilangan acak uniform (0,1) sehingga menghasilkan empat nilai klaim sebagai berikut,
0,30 0,92 0,70 0,08
|
| Rumus yang digunakan |
- Fungsi distribusi dari ground-up loss, X
\({F_X}(x) = 1 – {e^{ – \frac{x}{\theta }}}\)
- Fungsi kuantilnya (Metode Inversi)
\(y = 1 – {e^{ – \frac{x}{\theta }}}\)
\({e^{ – \frac{x}{\theta }}} = 1 – y\)
\(x = – \theta \left[ {\ln (1 – y)} \right]\)
\(F_X^{ – 1}(x) = – \theta \left[ {\ln (1 – x)} \right]\)
- Rata-rata penggantian pembayaran tahunan, Y
\(\bar Y = \frac{1}{n}\sum {y_j^p} \)
\(\bar Y = \frac{1}{n}\sum {\min \left( {0,8{{({x_j} – 100)}_ + },1.000} \right)} \)
|
| Proses pengerjaan |
- Nilai dari ground-up loss, X, masing-masing bilangan acak,
\(F_X^{ – 1}(x) = – 1.000\left[ {\ln (1 – x)} \right]\)
- \(x = 0,30\)
\(F_X^{ – 1}(x) = – 1.000\left[ {\ln (1 – 0,30)} \right]\)
\({x_1} = F_X^{ – 1}(x) \cong 356,6749\)
- \(x = 0,92\)
\(F_X^{ – 1}(x) = – 1.000\left[ {\ln (1 – 0,92)} \right]\)
\({x_2} = F_X^{ – 1}(x) \cong 2.525,7286\)
- \(x = 0,70\)
\(F_X^{ – 1}(x) = – 1.000\left[ {\ln (1 – 0,70)} \right]\)
\({x_3} = F_X^{ – 1}(x) \cong 1.203,9728\)
- \(x = 0,08\)
\(F_X^{ – 1}(x) = – 1.000\left[ {\ln (1 – 0,08)} \right]\)
\({x_4} = F_X^{ – 1}(x) \cong 83,3816\)
- Rata-rata penggantian pembayaran tahunan,
\(\bar Y = \frac{1}{n}\sum {\min \left( {0,8{{({x_j} – 100)}_ + },1.000} \right)} \) \(x > 100,y < 1.000\)
- \({x_1} = F_X^{ – 1}(x) \cong 356,6749\)
\(y_1^p = 205,3399\)
- \({x_2} = F_X^{ – 1}(x) \cong 2.525,7286\)
\(y_2^p = 1.940,5829\) \(y_2^p < 1.000\)
\(y_2^p = 1.000\) → Y melebihi maksimal pembayaran penggantian sehingga pembayaran penggantian sesuai batas maksimal yaitu sebesar 1.000.
- \({x_3} = F_X^{ – 1}(x) \cong 1.203,9728\)
\(y_3^p = 883,1782\)
- \({x_4} = F_X^{ – 1}(x) \cong 83,3816\)
\(y_4^p = 0\) → X tidak melebihi deductible yaitu sebesar 100 sehingga tidak ada pembayaran penggantian.
\(\bar Y = \frac{1}{n}\sum {\min \left( {0,8{{({x_j} – 100)}_ + },1.000} \right)} \) \(x > 100,y < 1.000\)
\(\bar Y = \frac{1}{4}\left( {205,3399 + 1.000 + 883,1782 + 0} \right)\)
\(\bar Y = 522,129525\)
\(\bar Y \cong 522\)
|
| Jawaban |
a. 522 |
