Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Metoda Statistika |
| Periode Ujian | : | November 2017 |
| Nomor Soal | : | 6 |
SOAL
Pada sebuah studi double decrement yang dilakukan pada tahun kalender 2007, diperoleh data sebagai berikut:
| Orang ke- | Tanggal Lahir | Tanggal Kematian | Tanggal Withdrawal |
| 1 | 1 Juli 1912 | – | – |
| 2 | 1 April 1912 | 1 Desember 2007 | – |
| 3 | 1 Oktober 1911 | – | ? |
| 4 | 1 Januari 1912 | – | – |
| 5 | 1 Juni 1912 | 1 November 2007 | – |
Diketahui pula \({\hat q_{95}}^{‘\left( {kematian} \right)} = 0,46825\) dengan menggunakan metode exact exposure. Pada tanggal berapa orang ke-3 keluar (withdrawal) dari pengamatan pada studi tersebut?
- 1 April 2007
- 1 Mei 2007
- 1 Juni 2007
- 1 Juli 2007
- 1 Agustus 2007
| Diketahui | \({\hat q_{65}}^{‘\left( {kematian} \right)} = 0,46825\) dengan menggunakan metode exact exposure tahun kalender 2007| Orang ke- | Tanggal Lahir | Tanggal Kematian | Tanggal Withdrawal | | 1 | 1 Juli 1912 | – | – | | 2 | 1 April 1912 | 1 Desember 2007 | – | | 3 | 1 Oktober 1911 | – | ? | | 4 | 1 Januari 1912 | – | – | | 5 | 1 Juni 1912 | 1 November 2007 | – |
|
| Rumus yang digunakan | \({y_i} = \) tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i} = \) tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\({\theta _i} = \) tanggal meninggal – tanggal lahir
\({\phi _i} = \) tanggal withdraw – tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x{\rm{ \_jika\_ }}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan | | Tgl Lahir | \({y_i}\) | \({z_i}\) | \({\theta _i}\) | \({\phi _i}\) | \({r_i}\) | \({s_i}\) | \({\iota _i}\) | \({\kappa _i}\) | Ekposure Eksak | | 1 Jul 1912 | 94.50 | 95.50 | | | 0.00 | 0.50 | | | 0.50 | | 1 Apr 1912 | 94.75 | 95.75 | 95.67 | | 0.00 | 0.75 | 0.67 | | 0.67 | | 1 Okt 1911 | 95.25 | 96.25 | | 95.25+x | 0.25 | 1.00 | | 0.25+x | x | | 1 Jan 1912 | 95.00 | 96.00 | | | 0.00 | 1.00 | | | 1.00 | | 1 Jun 1912 | 94.58 | 95.58 | 95.42 | | 0.00 | 0.58 | 0.42 | | 0.42 | | Total | 2.59 |
Bisa dilihat pada kolom \({\iota _i}\) hanya terjadi dua kematian untuk usia 95 tahun sehingga
\({q_{95}} = 1 – \exp \left( { – \frac{2}{{2,59 + x}}} \right) = 0,46825\)
\(– \ln \left( {1 – 0,46825} \right) = \frac{2}{{2,59 + x}}\)
\(1,635797 + 0,631582x = 2\)
\(x = 0,576651\) (diubah ke bulan)
\(\frac{b}{{12}} = 0,576651\)
\(b = 6,9198\) Jika awal pengamatan dimulai pada 1 Januari 2007 (bulan ke-1) maka orang ke-3 keluar sekitar tanggal 1 Agustus 2007 |
| Jawaban | e. 1 Agustus 2007 |
