Pembahasan Ujian PAI: A50 - No. 14 - April 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Metoda Statistika
Periode Ujian	:	April 2019
Nomor Soal	:	14

SOAL

Sebuah perusahaan merekrut 200 karyawan untuk bergabung dalam sebuah program management trainee. Untuk memprediksi jumlah karyawan yang akan menyelesaikan program tersebut, perusahaan membuat multiple decrement table dengan asumsi sebagai berikut:

Dari 40 karyawan, jumlah yang gagal membuat kemajuan yang memadai dalam tiga tahun pertama adalah 10, 6, dan 8, secara berurutan
Dari 30 karyawan, jumlah yang mengundurkan diri dalam tiga tahun pertama adalah 6, 8, dan 2, secara berurutan
Dari 20 karyawan, jumlah yang meninggalkan program dengan alasan lain dalam tiga tahun pertama adalah 2, 2, dan 4, secara berurutan
Distribusi seragam (uniform) digunakan sebagai asumsi decrement setiap tahunnya

Hitunglah estimasi jumlah karyawan yang gagal membuat kemajuan yang memadai di tahun ke-3

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	Sebuah perusahaan merekrut 200 karyawan untuk bergabung dalam sebuah program management trainee. Untuk memprediksi jumlah karyawan yang akan menyelesaikan program tersebut, perusahaan membuat multiple decrement table dengan asumsi sebagai berikut: Dari 40 karyawan, jumlah yang gagal membuat kemajuan yang memadai dalam tiga tahun pertama adalah 10, 6, dan 8, secara berurutan Dari 30 karyawan, jumlah yang mengundurkan diri dalam tiga tahun pertama adalah 6, 8, dan 2, secara berurutan Dari 20 karyawan, jumlah yang meninggalkan program dengan alasan lain dalam tiga tahun pertama adalah 2, 2, dan 4, secara berurutan Distribusi seragam (uniform) digunakan sebagai asumsi decrement setiap tahunnya
Rumus yang digunakan	\({q_x} = \frac{{{d_x}}}{{{l_x}}}\), \(p_x^{\left( \tau \right)} = \prod\limits_{j = 1}^n {p_x^{‘\left( j \right)}} \), \(l_n^{\left( \tau \right)} = l_0^{\left( \tau \right)} \cdot \prod\limits_{k = 0}^{n – 1} {p_k^{\left( \tau \right)}} \), \(d_x^{\left( j \right)} = q_x^{\left( j \right)} \cdot l_x^{\left( \tau \right)}\), \(q_x^{‘\left( j \right)} = \frac{{\ln \left( {p_x^{‘\left( j \right)}} \right)}}{{\ln \left( {p_x^{\left( \tau \right)}} \right)}} \cdot q_x^{\left( \tau \right)}\)
Proses pengerjaan	Peluang kegagalan karyawan sesuai penyebab pada tiap tahunnya \(q_0^{‘\left( 1 \right)} = \frac{{10}}{{40}} = \frac{1}{4},\) \(q_1^{‘\left( 1 \right)} = \frac{6}{{30}} = \frac{1}{5},\) \(q_2^{‘\left( 1 \right)} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3},\) \(q_0^{‘\left( 2 \right)} = \frac{6}{{30}} = \frac{1}{5},\) \(q_1^{‘\left( 2 \right)} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3},\) \(q_2^{‘\left( 2 \right)} = \frac{2}{{16}} = \frac{1}{8},\) \(q_0^{‘\left( 3 \right)} = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}},\) \(q_1^{‘\left( 3 \right)} = \frac{2}{{18}} = \frac{1}{9},\) \(q_2^{‘\left( 3 \right)} = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4},\)
	Sehingga diperoleh peluang seluruh karyawan lolos pada tiap tahunnya \(p_0^{\left( \tau \right)} = p_0^{‘\left( 1 \right)} \cdot p_0^{‘\left( 2 \right)} \cdot p_0^{‘\left( 3 \right)} = \left( {1 – \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{5}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{{10}}} \right) = 0,54\) \(p_1^{\left( \tau \right)} = p_1^{‘\left( 1 \right)} \cdot p_1^{‘\left( 2 \right)} \cdot p_1^{‘\left( 3 \right)} = \left( {1 – \frac{1}{5}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{9}} \right) = 0,47407\) \(p_2^{\left( \tau \right)} = p_2^{‘\left( 1 \right)} \cdot p_2^{‘\left( 2 \right)} \cdot p_2^{‘\left( 3 \right)} = \left( {1 – \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{8}} \right) \cdot \left( {1 – \frac{1}{4}} \right) = 0,4375\)
	Diperoleh \(l_2^{\left( \tau \right)} = l_0^{\left( \tau \right)} \cdot p_0^{\left( \tau \right)} \cdot p_1^{\left( \tau \right)} = 200 \cdot 0,54 \cdot 0,47407 = 51,19956\) \(q_2^{\left( 1 \right)} = \frac{{\ln p_2^{‘\left( 1 \right)}}}{{\ln p_2^{\left( \tau \right)}}} \cdot q_2^{\left( \tau \right)} = \frac{{\ln \left( {1 – \frac{1}{3}} \right)}}{{\ln \left( {0,4375} \right)}} \cdot \left( {1 – 0,4375} \right) = 0,275892\) \(d_2^{\left( 1 \right)} = q_2^{\left( 1 \right)} \cdot l_2^{\left( \tau \right)} = \left( {0,275892} \right) \cdot \left( {51,19956} \right) = 14,125556\)
Jawaban	d. 14