Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2018 |
| Nomor Soal |
: |
6 |
SOAL
Diberikan dua estimator saling bebas untuk suatu parameter \(\theta \). Untuk estimator A, \(E({\hat \theta _A}) = 1.000\,\,dan\,\,Var({\hat \theta _A}) = 160.000\), sedangkan estimator B, \(E({\hat \theta _B}) = 1.200\,\,dan\) \(Var({\hat \theta _B}) = 40.000\). Estimator C ialah rata-rata tertimbang dari fungsi sebagai berikut:
\({\hat \theta _C} = \omega {\hat \theta _A} + (1 – \omega ){\hat \theta _B}\)
Tentukan nilai \(\omega \) untuk menimimalkan \(Var({\hat \theta _C})\)
- 0,5
- 0,6
- 0,2
- 1,2
- 2,2
| Step 1 |
\(Var({\hat \theta _C}) = Var[\omega {\hat \theta _A} + (1 – \omega ){\hat \theta _B}]\)
\(Var({\hat \theta _C}) = Var[\omega {\hat \theta _A}] + Var[(1 – \omega ){\hat \theta _B}]\) \(\to \) A dan B saling bebas
\(Var({\hat \theta _C}) = {\omega ^2}Var[{\hat \theta _A}] + {(1 – \omega )^2}Var[{\hat \theta _B}]\)
\(Var({\hat \theta _C}) = {\omega ^2}(160.000) + {(1 – \omega )^2}(40.000)\)
\(Var({\hat \theta _C}) = {\omega ^2}(160.000) + (1 – 2\omega + {\omega ^2})(40.000)\)
\(Var({\hat \theta _C}) = 200.000{\omega ^2} – 80.000\omega + 40.000\) |
| Step 2 |
Meminimanlkan \(Var({\hat \theta _C})\)
- \(\frac{d}{{d\omega }}Var({\hat \theta _C}) = 0\)
\(\frac{d}{{d\omega }}Var({\hat \theta _C}) = \frac{d}{{d\omega }}\left( {200.000{\omega ^2} – 80.000\omega + 40.000} \right)\)
\(\frac{d}{{d\omega }}Var({\hat \theta _C}) = 400.000\omega – 80.000\)
\(0 = 400.000\omega – 80.000\)
\(\omega = 0,2\) |
| Jawaban |
c. 0,2 |
