Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
17 |
SOAL
Diketahui informasi sebagai berikut untuk suatu sampel yang terdiri dari 2.000 klaim sebagai berikut:
- 1.700 observasi yang tidak lebih besar dari 6.000
- 30 observasi diantara 6.000 dan 7.000
- 270 observasi yang lebih besar dari 7.000
Diketahui bahwa total jumlah klaim dari 30 observasi diantara 6.000 dan 7.000 ialah 200.000. Nilai dari \(E\left( {X \wedge 6.000} \right)\) untuk distribusi empirikal yang berasosiasi dengan 2.000 observasi ini ialah 1.810. Hitung distribusi empirical dari \(E\left( {X \wedge 7.000} \right)\)
- 2.175
- 1.175
- 1.008
- 1.955
- 2.575
| Diketahui |
- Untuk suatu sampel yang terdiri dari 2.000 klaim sebagai berikut:
- 1.700 observasi yang tidak lebih besar dari 6.000
- 30 observasi diantara 6.000 dan 7.000
- 270 observasi yang lebih besar dari 7.000
- Diketahui bahwa total jumlah klaim dari 30 observasi diantara 6.000 dan 7.000 ialah 200.000.
- Nilai dari \(E\left( {X \wedge 6.000} \right)\) untuk distribusi empirikal yang berasosiasi dengan 2.000 observasi ini ialah 1.810.
|
| Rumus yang digunakan |
Distribusi empiric: \(E\left[ {X \wedge u} \right] = E\left[ X \right] = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{n}\)
\(Y = X \wedge u = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {X,}&{X < u} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {u,}&{X \ge u} \end{array}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan |
Pertama kita bedakan kondisi antara \(E\left[ {X \wedge 6000} \right]\) dan \(E\left[ {X \wedge 7000} \right]\)
- Untuk klaim tidak lebih besar dari 6.000, semua total jumlah klaim masuk ke dua kondisi di atas sehingga tidak ada perbedaan
- Untuk klaim lebih besar dari 7.000, 6000 masuk ke kondisi \(E\left[ {X \wedge 6000} \right]\) dan 7.000 masuk ke kondisi \(E\left[ {X \wedge 7000} \right]\)
- Untuk klaim diantara 6.000 dan 7.000, 6.000 masuk ke kondisi \(E\left[ {X \wedge 6000} \right]\), sedangkan semua total jumlah klaim masuk ke kondisi \(E\left[ {X \wedge 7000} \right]\)
|
|
\(E\left[ {X \wedge 7000} \right] = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = \frac{1}{{2000}}\left( {\sum\limits_{{x_j} \le 7000} {{x_j}} + \sum\limits_{{x_j} > 7000} {{x_j}} } \right)\)
\(E\left[ {X \wedge 7000} \right] = \frac{1}{{2000}}\left( {\sum\limits_{{x_j} \le 6000} {{x_j}} + \sum\limits_{{x_j} > 6000} {6000} + \sum\limits_{6000 < {x_j} \le 7000} {\left( {{x_j} – 6000} \right)} + \sum\limits_{{x_j} > 7000} {1000} } \right)\)
\(E\left[ {X \wedge 7000} \right] = \frac{{\sum\limits_{{x_j} \le 6000} {{x_j}} + \sum\limits_{{x_j} > 6000} {6000} }}{{2000}} + \frac{{\sum\limits_{{x_j} > 7000} {1000} }}{{2000}} + \frac{{\sum\limits_{6000 < {x_j} \le 7000} {\left( {{x_j} – 6000} \right)} }}{{2000}}\)
\(E\left[ {X \wedge 7000} \right] = \frac{{2000E\left[ {X \wedge 6000} \right]}}{{2000}} + \frac{{270\left( {1000} \right)}}{{2000}} + \frac{{200,000 – 30\left( {6000} \right)}}{{2000}}\)
\(E\left[ {X \wedge 7000} \right] = 1955\) |
| Jawaban |
d. 1.955 |
