Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2017 |
| Nomor Soal | : | 15 |
SOAL
Banyaknya klaim pertahun dari seorang tertanggung mengikuti sebuah distribusi Poisson dengan rata-rata \(\lambda \).
\(\lambda \) bervariasi berdasarkan sebuah distribusi gamma dengan \(\alpha = 20\) dan \(\theta = 0.01\). Berikut adalah informasi mengenai banyaknya klaim pertahun yang terjadi pada seorang tertanggung selama enam tahun terakhir.
0, 0, 1, 0, 0, 1
Hitunglah the posterior variance dari banyaknya klaim pertahun untuk tertanggung ini pada tahun depan.
- kurang dari 0,18
- paling sedikit 0,18 akan tetapi kurang dari 0,19
- paling sedikit 0,19 akan tetapi kurang dari 0,20
- paling sedikit 0,20 akan tetapi kurang dari 0,21
- paling sedikit 0,21
| Diketahui | - Banyaknya klaim pertahun dari seorang tertanggung mengikuti sebuah distribusi Poisson dengan rata-rata \(\lambda \)
- \(\lambda \) bervariasi berdasarkan sebuah distribusi gamma dengan \(\alpha = 20\) dan \(\theta = 0.01\)
- banyaknya klaim pertahun yang terjadi pada seorang tertanggung selama enam tahun terakhir.
0, 0, 1, 0, 0, 1 |
| Rumus yang digunakan | \(Var(\Lambda ){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^ * }\Gamma ({\alpha ^ * } + 2)}}{{\Gamma ({\alpha ^ * })}} – {\left( {\frac{{{\theta ^ * }\Gamma ({\alpha ^ * } + 1)}}{{\Gamma ({\alpha ^ * })}}} \right)^2}\) |
| Proses pengerjaan | Distribusi posterior untuk permasalahan ini adalah:
\({\pi _{\Lambda |{\bf{X}}}}(\lambda |{\bf{x}}) \propto {e^{ – n\lambda }}{\lambda ^{\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j}\frac{{{{\left( {\frac{\lambda }{\theta }} \right)}^\alpha }{e^{ – \frac{\lambda }{\theta }}}}}{{\lambda \Gamma (\alpha )}}} }}\)
\({\pi _{\Lambda |{\bf{X}}}}(\lambda |{\bf{x}}) \propto {e^{ – n\lambda – \frac{\lambda }{\theta }}}{\lambda ^{\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j} + \alpha – 1} }}\)
\({\pi _{\Lambda |{\bf{X}}}}(\lambda |{\bf{x}}) = {e^{ – 106\lambda }}{\lambda ^{2 + 19}}\)
\(\Lambda |{\bf{X}} \sim\) gamma \(({\alpha ^ * },{\theta ^ * })\) dengan \({\alpha ^ * } – 1 = 2 + 19 = 21\)
\({\alpha ^ * } = 22\)
\({\theta ^ * } = 106\)
posterior variance dari banyaknya klaim pertahun untuk tertanggung menjadi:
\(Var(\Lambda ){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^ * }\Gamma ({\alpha ^ * } + 2)}}{{\Gamma ({\alpha ^ * })}} – {\left( {\frac{{{\theta ^ * }\Gamma ({\alpha ^ * } + 1)}}{{\Gamma ({\alpha ^ * })}}} \right)^2}\)
\(Var(\Lambda ){\rm{ }} = \theta \left( {\frac{{\Gamma (24)}}{{\Gamma (22)}} – {{\left( {\frac{{\Gamma (23)}}{{\Gamma (22)}}} \right)}^2}} \right)\)
\(Var(\Lambda ){\rm{ }} = {\left( {\frac{1}{{106}}} \right)^2}(22 \times 23 – 22 \times 22)\)
\(Var(\Lambda ){\rm{ }} = \frac{{22}}{{{{106}^2}}} = 0,0020.\) |
| Jawaban | A. kurang dari 0,18 |
