Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
\(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) adalah “independent live”. Manakah dari pernyataan berikut yang benar untuk menyatakan peluang dari “last survivor” dari \(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) akan meninggal antara usia 70 dan 75?
- \({}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{30}{q_{40}} + {}_{30}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{20}{q_{50}}\)
- \({}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{30}{q_{40}} + {}_{30}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{20}{q_{50}} + {}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{30}{q_{40}} \cdot {}_5{q_{70}}\)
- \({}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{30}{q_{40}} + {}_{30}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{20}{q_{50}} + 2 \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} \cdot {}_{30}{q_{40}} \cdot {}_5{q_{70}}\)
- \({}_{20}{q_{40}} \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} + {}_{20}{p_{40}} \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot \int_0^5 {{}_t{q_{60}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {\mu _{70 + t}}dt} + {}_{30}{q_{50}} \cdot {}_{30}{p_{40}} \cdot {}_5{q_{70}}\) \(+ {}_{30}{p_{50}} \cdot {}_{30}{p_{40}} \cdot \int_0^5 {{}_t{q_{80}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {\mu _{70 + t}}dt} \)
- \(\sum\nolimits_{t = 0}^4 {\left( {{}_{30}{p_{40}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {q_{70 + t}} \cdot {}_{30 + t}{q_{50}} + {}_{20}{p_{50}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {q_{70 + t}} \cdot {}_{20 + t}{q_{40}}} \right)} \)
| Diketahui |
\(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) adalah “independent live”. Ditentukan peluang dari “last survivor” dari \(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) akan meninggal antara usia 70 dan 75 |
| Rumus yang digunakan |
– |
| Proses pengerjaan |
Dalam 20 tahun mendatang, \(\left( {40} \right)\) akan meninggal dan \(\left( {50} \right)\) (yang masih hidup ketika \(\left( {40} \right)\) meninggal) akan meninggal antara usia 70 tahun dan 75 tahun. Peluang dari kejadian ini adalah:
\({}_{20}{q_{40}} \cdot {}_{\left. {20} \right|5}{q_{50}} = {}_{20}{q_{40}} \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}}\)Dalam kurun waktu 20 tahun mendatang, \(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) masih tetap hidup, namun \(\left( {50} \right)\) akan meninggal setelah \(\left( {40} \right)\) meninggal \(\left( {50} \right)\)( meninggal kedua) pada usia antara 70 tahun dan 75 tahun. Peluang dari kejadian ini adalah:
\({}_{20}{p_{40}} \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot \int_0^5{{}_t{q_{60}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {\mu _{70 + t}}dt} \)
Dalam kurun waktu 30 tahun mendatang, \(\left( {50} \right)\) akan meninggal dan \(\left( {40} \right)\) (yang masih hidup ketika \(\left( {50} \right)\) meninggal) akan meninggal antara usia 70 tahun dan 75 tahun. Peluang dari kejadian ini adalah:
\({}_{30}{q_{50}} \cdot {}_{\left. {30} \right|5}{q_{40}} = {}_{30}{q_{50}} \cdot {}_{30}{p_{40}} \cdot {}_5{q_{70}}\)
Dalam kurun waktu 30 tahun mendatang, \(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) masih tetap hidup, namun \(\left( {40} \right)\) akan meninggal setelah \(\left( {50} \right)\) (\(\left( {40} \right)\) meninggal kedua) pada usia antara 70 tahun dan 75 tahun. Peluang dari kejadian ini adalah:
\({}_{30}{p_{50}} \cdot {}_{30}{p_{40}} \cdot \int_0^5 {{}_t{q_{80}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {\mu _{70 + t}}dt} \)
Jadi pernyataan yang benar untuk menyatakan peluang dari ”last survivor” dari \(\left( {40} \right)\) dan \(\left( {50} \right)\) akan meninggal antara usia 70 dan 75 adalah:
\({}_{20}{q_{40}} \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot {}_5{q_{70}} + {}_{20}{p_{40}} \cdot {}_{20}{p_{50}} \cdot \int_0^5 {{}_t{q_{60}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {\mu _{70 + t}}dt} + {}_{30}{q_{50}} \cdot {}_{30}{p_{40}} \cdot {}_5{q_{70}}\)
\(+ {}_{30}{p_{50}} \cdot {}_{30}{p_{40}} \cdot \int_0^5 {{}_t{q_{80}} \cdot {}_t{p_{70}} \cdot {\mu _{70 + t}}dt} \) |
| Jawaban |
C. 2.303 |
