Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A60 – Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Suatu unit “continuously-operation air conditioning” mempunyai waktu hidup berdistribusi “exponential” dengan “mean” 4 tahun. Ketika unit “fail” harus diganti dengan biaya 1000, yang dianggap sebagai “unit of money”. Anggap \(\overline Z \) menyatakan “present value” variable acak untuk setiap pembayaran unit pada saat terjadi “fail”. Dengan menggunakan “effective annual interest rate 5%” hitunglah
\(E[\overline {Z]} \)
- 0,8367
- 0,9921
- 1,2134
- 1,4505
- 1,8980
PEMBAHASAN
| Diketahui |
\({T_x} \sim eksponensial\,\left( {\lambda = \frac{1}{4}} \right)\)
\(\overline Z = {v^{{T_x}}}\,,\,{T_x} > 0\) |
| Kalkulasi |
\(E[\overline Z ] = \int\limits_0^\infty {{v^t}\,{f_{{T_x}}}(t)\,dt} \)
\(E[\overline Z ] = \int\limits_0^\infty {{e^{ – \delta t}}\,\lambda {e^{ – \lambda t}}\,dt} \)
\(E[\overline Z ] = \lambda \int\limits_0^\infty {{e^{ – (\delta + \lambda )t}}\,dt} \)
\(E[\overline Z ] = \frac{\lambda }{{ – (\delta + \lambda )}}{e^{ – (\delta + \lambda )t}}\left| {_0^\infty } \right.\)
\(E[\overline Z ] = \frac{\lambda }{{ – (\delta + \lambda )}}(0 – 1)\)
\(E[\overline Z ] = \frac{\lambda }{{(\delta + \lambda )}}\) |
| \(\lambda = \frac{1}{4}\delta = \ln (1 + 0,05)\)
\(E[\overline Z ] = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\left( {ln(1,05) + \frac{1}{4}} \right)}}\)
\(E[\overline Z ] = {\rm{0,83671}}\)
\(E[\overline Z ] \cong {\rm{0,8367}}\) |
| Jawaban |
a.0,8367 |
