Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
15 |
SOAL
Dalam suatu studi mortalitas atas n individu, diketahui informasi sebagai berikut
- tidak ada data yang disensor tidak ada data yang disensor dan tidak ada 2 kematian tidak pada saat yang sama dan tidak ada 2 kematian terjadi pasa aat yang sama.
- \({t_k} = \) waktu pada saaat kematian ke-k
- Estimasi Nelson-Aalen atau fungsi kumulatif hazard adalah \(\widehat \Lambda ({t_2}) = \frac{{59}}{{870}}\)
Tentukan estimasi product limit Kaplan-meler dari fungsi survival pada saat \({t_9}\)
- 0.76
- 0.70
- 0.64
- 0.58
- 0.52
| Diketahui |
- tidak ada data yang disensor tidak ada data yang disensor dan tidak ada 2 kematian tidak pada saat yang sama dan tidak ada 2 kematian terjadi pasa aat yang sama.
- \({t_k} = \) waktu pada saaat kematian ke-k
- Estimasi Nelson-Aalen atau fungsi kumulatif hazard adalah \(\widehat \Lambda ({t_2}) = \frac{{59}}{{870}}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\(\widehat S\left( t \right) = \prod\limits_{j = 1}^m {\left( {\frac{{{r_j} – {d_j}}}{{{r_j}}}} \right)} ,\) untuk \({t_m} \le t < {t_{m + 1}}\)
\(\widehat \Lambda (t) = \sum\limits_{i = 1}^m {\frac{1}{{{r_j}}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n – 1}} + … + \frac{1}{{n – m + 1}},} \) untuk \({t_m} \le t < {t_{m + 1}}\) |
| Proses pengerjaan |
\(\widehat \Lambda ({t_2}) = \frac{1}{n} + \frac{1}{{n – 1}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{59}}{{870}} = \frac{{2n – 1}}{{{n^2} – n}}\)
\(\Leftrightarrow 59{n^2} – 59n = 1740n – 870\)
\(\Leftrightarrow 59{n^2} – 1799n + 870 = 0\)
\({n_{}} = \frac{{1799 + \sqrt {{{\left( { – 1799} \right)}^2} – 4(59)(870)} }}{{2(59)}} = 30\)
\(\widehat S\left( {{t_9}} \right) = \prod\limits_{j = 1}^9 {\left( {\frac{{{r_j} – {d_j}}}{{{r_j}}}} \right)} \)
\(= \frac{{29}}{{30}} \cdot \frac{{28}}{{29}} \cdot \frac{{27}}{{28}} \cdot …. \cdot \frac{{21}}{{22}}\)
\(= \frac{{21}}{{30}}\)
\(= 0.7\) |
| Jawaban |
b. 0.7 |
