Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Metoda Statistika |
| Periode Ujian | : | November 2018 |
| Nomor Soal | : | 13 |
SOAL
Diberikan proses MA(3) dibawah ini
\({y_t} = \mu + {\varepsilon _t} + {\theta _1}{\varepsilon _{t – 1}} + {\theta _2}{\varepsilon _{t – 2}} + {\theta _3}{\varepsilon _{t – 3}}\), dimana \({\sigma _t}\) merupakan sebuah white noise process dengan nilai rata-rata nol dan variance \({\sigma ^2}\).
Yang manakah pernyataan di bawah yang benar?
- Proses \({y_t}\) memiliki nilai rata-rata nol
- Fungsi autocorrelation akan memiliki nilai 0 (nol) pada lag 5
- Proses \({y_t}\) memiliki variance \({\sigma ^2}\)
- Fungsi autocorrelation akan memiliki nilai 1 (satu) pada lag 0
- i dan iii saja
- ii saja
- ii dan iv saja
- i, ii dan iii saja
- i,ii, iii dan iv
| Diketahui | \({y_t} = \mu + {\varepsilon _t} + {\theta _1}{\varepsilon _{t – 1}} + {\theta _2}{\varepsilon _{t – 2}} + {\theta _3}{\varepsilon _{t – 3}}\) dimana \({\sigma _t}\) merupakan sebuah white noise process dengan nilai rata-rata nol dan variance \({\sigma ^2}\) . |
| Rumus yang digunakan | Fungsi Auto korelasi untuk MA(q)
\({\rho _k} = \frac{{\sum\limits_{i = 0}^q {{\theta _i}{\theta _{k + i}}} }}{{\sum\limits_{i = 0}^q {{\theta _i}^2} }},\) k =1,2,…..,q
\({\rho _k} = 0,\) \(k > q\)
Dimana \({\theta _0} = – 1\) dan \({\theta _k} = 0\) untuk \(k \ge q + 1\)
Varians dari fungsi MA(q)
\(Var({y_t}) = {\sigma _t}\left( {1 + \theta _1^2 + \theta _2^2 + \cdots + \theta _q^2} \right)\) |
| Proses pengerjaan | i. Salah, karena yang memiliki rata-rata nol adalah \({\sigma _t}\) sedangkan \({y_t}\) memiliki rata-rata \(\mu \) |
| ii. Benar, karena fungsi autocorrelation akan bernilai nol setelah lag ke-q pada MA(q) dalam hal ini akan bernilai nol setelah lag ke-3 |
| iii. Salah, karena untuk MA(3)
\(Var({y_t}) = {\sigma _t}\left( {1 + \theta _1^2 + \theta _2^2 + \theta _3^2} \right)\)
\(= {\sigma ^2}\left( {1 + \theta _1^2 + \theta _2^2 + \theta _3^2} \right)\) |
iv. Benar,
\({\rho _0} = \frac{{{\theta _0}{\theta _0}}}{{{\theta _0}^2}}\)
\(= \frac{{1 \cdot 1}}{{{1^2}}}\)
\(= 1\) |
| Jawaban | c. ii dan iv saja |
