Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20- Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
13 |
SOAL
Rata-rata besar kerugian per polis pada suatu portofolio polis adalah 100. Aktuari 1 mengasumsikan distribusi besar kerugian memiliki distribusi eksponensial dengan mean 100, sedangkan Aktuari 2 mengasumsikan distribusi besar kerugian memiliki fungsi kepadatan peluang :
\({f_2}(x) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}},x > 0\)
Jika m1 dan m2 menyatakan median besar kerugian untuk kedua ditribusi tersebut, maka hitung \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}\) !
- 0,6
- 1,0
- 1,3
- 1,7
- 2,0
PEMBAHASAN
| Diketahui |
\(X1\) ialah besar kerugian menurut aktuaria 1
\(X2\) ialah besar kerugian menurut aktuaria 2 |
| Kalkulasi |
\({X_1}~eksponensial(\theta = 100)\)
\({f_1}(x) = 0,01{e^{ – 0,01x}}\)
\(median,\)
\(0,5 = 1 – {e^{ – 0,01x}}\)
\(x = \frac{{\ln 0,5}}{{ – 0,01}}\)
\(x = 69,32 = {m_1}\)\({f_2}(x) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}},x > 0\)
\(E[{X_2}] = 100\)
\(E[{X_2}] = \int\limits_0^\infty {x(\frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}}} )dx\)
\(E[{X_2}] = \int\limits_0^\infty {x(\frac{{2{\theta ^2}}}{{{{(x + \theta )}^3}}}} )dx\)
\(E[{X_2}] = 2{\theta ^2}\int\limits_0^\infty {x{{(x + \theta )}^{ – 3}}} dx\)
\(E[{X_2}] = 2{\theta ^2}\left[ {x\frac{1}{{ – 2}}{{(x + \theta )}^{ – 2}}|_0^\infty – \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{ – 2}}{{(x + \theta )}^{ – 2}}dx} } \right]\)
\(E[{X_2}] = 2{\theta ^2}\left[ {0 + \frac{1}{{2\theta }}} \right]\)
\(E[{X_2}] = \theta = 100\)\({X_2}~pareto(\theta = 100,\alpha = 2)\)
\({S_X}(x) = {\left( {\frac{\theta }{{x + \theta }}} \right)^\alpha }\)
\({S_X}(x) = {\left( {\frac{{100}}{{x + 100}}} \right)^2}\)
\(median,\)
\(0,5 = {\left( {\frac{{100}}{{x + 100}}} \right)^2}\)
\(x = \frac{{100}}{{\sqrt {0,5} }} – 100\)
\(x = 41,42 = {m_2}\)\(maka,\)
\(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{69,32}}{{41,42}}\)
\(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = 1,67\)
\(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \cong 1,7\) |
| Jawaban |
D. 1,7 |
