Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
11 |
SOAL
Dua orang aktuaris menggunakan tabel mortalitas yang sama untuk menghitung premi dari sebuah asuransi fully discrete 2-year endowment dari benefit 1000 pada \(\left( x \right)\)
- Kevin menghitung non-level benefit premium dari 608 untuk tahun pertama dan 350 untuk tahun kedua
- Kira menghitung level annual benefit premium dari \(\pi \)
- \(d = 0,05\)
Hitunglah \(\pi \)
- 482
- 489
- 497
- 508
- 517
| Diketahui |
Dua orang aktuaris menggunakan tabel mortalitas yang sama untuk menghitung premi dari sebuah asuransi fully discrete 2-year endowment dari benefit 1000 pada \(\left( x \right)\)
- Kevin menghitung non-level benefit premium dari 608 untuk tahun pertama dan 350 untuk tahun kedua
- Kira menghitung level annual benefit premium dari \(\pi \)
- \(d = 0,05\)
|
| Rumus yang digunkan |
\(P_{x:\overline {\left. n \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. n \right|} }^1 = A_{x:\overline {\left. n \right|} }^1\)
\(A_{x:\overline {\left. n \right|} }^1 = \sum\nolimits_{k = 0}^{n – 1} {{v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \)
\({{\ddot a}_{x:\overline {\left. n \right|} }} = \sum\nolimits_{k = 0}^{n – 1} {{v^k} \cdot {}_k{p_x}} \)
\(v = 1 – d\) |
| Proses pengerjaan |
\(v = 1 – d = 1 – 0.05 = 0.95\)
- Kira
\(A_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = b\left( {\sum\nolimits_{k = 0}^1 {{v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} } \right)\)
\(A_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = 1000\left( {v \cdot {}_0{p_x} \cdot {q_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {q_{x + 1}}} \right)\)
\(A_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = 1000\left( {0.95 \cdot \left( 1 \right) \cdot \left( {1 – {p_x}} \right) + {{0.95}^2} \cdot {p_x} \cdot \left( 1 \right)} \right)\)
\(A_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = 950 – 950{p_x} + 902.5{p_x}\)
\(A_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = 950 – 47.5{p_x}\)
- Kevin
\(P_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = \sum\nolimits_{k = 0}^1 {{b_{k + 1}} \cdot {v^k} \cdot {}_k{p_x}} \)
\(P_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = {b_1} \cdot {v^0} \cdot {}_0{p_x} + {b_2} \cdot v \cdot {p_x}\)
\(P_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = 608 \cdot \left( 1 \right) \cdot \left( 1 \right) + 350 \cdot \left( {0.95} \right) \cdot {p_x}\)
\(P_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = 608 + 332.5{p_x}\)
|
|
Nilai \({p_x}\)
\(P_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1 = A_{x:\overline {\left. 2 \right|} }^1\)
\(608 + 332.5{p_x} = 950 – 47.5{p_x}\)
\(380{p_x} = 342\)
\({p_x} = 0.9\) |
|
Diperoleh
\(P_{x:\overline {\left. n \right|} }^1 \cdot \ddot a_{x:\overline {\left. n \right|} }^1 = A_{x:\overline {\left. n \right|} }^1\)
\(\pi \left( {\sum\nolimits_{k = 0}^1 {{v^k} \cdot {}_k{p_x}} } \right) = b\left( {\sum\nolimits_{k = 0}^1 {{v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} } \right)\)
\(\pi \left( {{v^0} \cdot {}_0{p_x} + v \cdot {p_x}} \right) = 1000\left( {v \cdot {}_0{p_x} \cdot {q_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {q_{x + 1}}} \right)\)
\(\pi \left( {{{0.95}^0} \cdot \left( 1 \right) + 0.95 \cdot {p_x}} \right) = 1000\left( {0.95 \cdot \left( 1 \right) \cdot \left( {1 – {p_x}} \right) + {{0.95}^2} \cdot {p_x} \cdot \left( 1 \right)} \right)\)
\(\pi \left( {1 + 0.95{p_x}} \right) = 950 – 47.5{p_x}\)
\(\pi = \frac{{950 – 47.5\left( {0.9} \right)}}{{1 + 0.95\left( {0.9} \right)}}\)
\(\pi = 489.083558\) |
| Jawaban |
b. 489 |
