Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2017 |
| Nomor Soal | : | 7 |
SOAL
Diberikan data berikut:
- Kerugian mengikuti sebuah distribusi lognormal dengan parameter \(\mu = 7\) dan \(\sigma = 2\).
- Terdapat deductible sebesar 2.000.
- Sebanyak 10 kerugian diharapkan terjadi pada setiap tahun.
- Banyaknya klaim kerugian dan besarnya kerugian individu adalah saling bebas (independent)
Tentukan ekspektasi banyaknya klaim kerugian tahunan yang melebihi nilai deductible jika setiap kerugian nilainya mengalami kenaikan secara uniform sebesar 20%, namun deductible tidak mengalami perubahan.
- kurang dari 4
- paling sedikit 4 akan tetapi kurang dari 5
- paling sedikit 5 akan tetapi kurang dari 6
- paling sedikit 6 akan tetapi kurang dari 7
- paling sedikit 7
| Diketahui | - \(X\) ialah besarnya kerugian
\(X \sim Lognormal(\mu = 7,\sigma = 2)\) - Deductible (d) = 2.000
- \(Y\) ialah besarnya kerugian setelah kenaikan 20%
\(Y = 1,2X\) - Sebanyak 10 kerugian diharapkan terjadi pada setiap tahun.
|
| Rumus yang digunakan | - Distribusi Lognormal
\(F(x) = \Phi \left( {\frac{{\ln x – \mu }}{\sigma }} \right)\) - \(P[X > x] = 1 – F(x)\)
|
| Proses pengerjaan | - Mencari fungsi distribusi kumulatif (CDF) sampai deductible, \({F_Y}(2.000)\)
\({F_Y}(2.000) = P(Y < 2.000)\)
\({F_Y}(2.000) = P(1,2X < 2.000)\)
\({F_Y}(2.000) = P\left( {X < \frac{{2.000}}{{1,2}}} \right)\)
\({F_Y}(2.000) = {F_X}\left( {\frac{{2.000}}{{1,2}}} \right)\)
\({F_Y}(2.000) = \Phi \left( {\frac{{\ln 1.666,67 – 7}}{2}} \right)\)
\({F_Y}(2.000) = \Phi \left( {0,21} \right)\)
\({F_Y}(2.000) = 0,5832\)
- Mencari peluang kerugian setelah kenaikan yang melebihi deductible
\(P[Y > 2.000] = 1 – {F_Y}(2.000)\)
\(P[Y > 2.000] = 1 – 0,5832\)
\(P[Y > 2.000] = 0,4168\) - Mencari ekspektasi banyaknya klaim kerugian tahunan yang melebihi nilai deductible di mana diharapkan adanya 10 kerugian pada setiap tahun dan setiap klaim mengalami kenaikan secara uniform sebesar 20%
\(E[Y] = 10P(Y > 2.000)\)
\(E[Y] = 10(0,4168)\)
\(E[Y] = 4,168\) Paling sedikit 4 akan tetapi kurang dari 5 |
| Jawaban | b. paling sedikit 4 akan tetapi kurang dari 5 |
