Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | Juni 2016 |
| Nomor Soal | : | 4 |
SOAL
Sebuah Perusahaan memiliki 50 karyawan yang memiliki biaya perawatan gigi yang saling bebas secara mutual (mutually independent). Untuk setiap karyawan, Perusahaan akan membayarkan 100% biaya perawatan gigi setelah dikurangi $100.
Biaya perawatan gigi untuk setiap karyawan berdistibusi sebagai berikut:
| Biaya Perawatan Gigi | Probabilitas |
| 0 | 20% |
| 50 | 30% |
| 200 | 30% |
| 500 | 10% |
| 1.000 | 10% |
Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal, hitunglah percentile ke-95 untuk biaya perawatan gigi yang dibayarkan oleh Perusahaan.
(Pilihlah jawaban yang paling mendekati)
- $ 8.173
- $ 9.173
- $ 10.173
- $ 11.173
- $ 12.173
| Diketahui | Misalkan X menyatakan biaya perawatan gigi untuk satu orang karyawa| Biaya Perawatan Gigi | Probabilitas | | 0 | 20% | | 50 | 30% | | 200 | 30% | | 500 | 10% | | 1.000 | 10% |
|
| Rumus yang digunakan | \(P(S \le c){\rm{ }} = 0,{\rm{ }}95\) |
| Proses pengerjaan | X menyatakan biaya perawatan gigi untuk satu orang karyawan, setelah dikurangi $100. Distribusi dari X diberikan oleh:| Biaya Perawatan Gigi | Probabilitas | | 0 | 50% | | 100 | 30% | | 400 | 10% | | 900 | 10% |
\(E(X){\rm{ }} = {\rm{ }}(0)(0,50){\rm{ }} + {\rm{ }}(100)(0,30){\rm{ }} + {\rm{ }}(400)(0,10){\rm{ }} + {\rm{ }}(900)(0,10){\rm{ }} = 160\)
\(E({X^\partial }){\rm{ }} = {\rm{ }}{(0)^2}(0,50){\rm{ }} + {\rm{ }}{(100)^2}(0,30){\rm{ }} + {\rm{ }}{(400)^2}(0,10){\rm{ }} + {\rm{ }}{(900)^2}(0,10){\rm{ }} = 100.000\)
\(Var(X){\rm{ }} = 100.000 – 1602 = 74.400\)
\(E(S){\rm{ }} = 50 \times E(X){\rm{ }} = {\rm{ }}(50)(160){\rm{ }} = 8.000\)
\(Var(S){\rm{ }} = 50 \times Var(X){\rm{ }} = {\rm{ }}(50)(74.400){\rm{ }} = 3.720.000\) (karena saling bebas)Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal, persentil ke-95 dari S adalah suatu nilai dari c dimana:
\(P(S \le c){\rm{ }} = 0,95\)
\(P\left( {\frac{{S – 8.000}}{{\sqrt {3.720.000} }} \le \frac{{c – 8.000}}{{\sqrt {3.720.000} }}} \right) = 0,95\)
\(\frac{{c – 8.000}}{{\sqrt {3.720.000} }} = 1,645\)
\(c = 8.000 + 1,{\rm{ }}645\sqrt {3.720.000} = 11.172,76 \approx 11.173\) |
| Jawaban | D. $ 11.173 |
