Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Untuk suatu perusahaan asuransi kerugian ABC, kerugian pada portofolio asuransi kecelakaan diri mempunyai informasi sebagai berikut :
- Banyaknya klaim berdistribusi poisson dengan rata-rata 2 kali per tahun
- Besarnya klaim pada satu kejadian sebesar 1, 2, atau 3 juta rupiah dengan peluang masing-masing sebesar \(\frac{1}{3}\)
- Besar kerugian ialah saling bebas dengan banyaknya kerugian, dan sebaliknya
Sebuah perjanjian asuransi melindungi kerugian dalam 1 tahun, dengan syarat aggregate dedutible tahunan sebesar 2 juta rupiah. Hitung ekspetasi pembayaran klaim untuk polis asuransi ini (dalam juta rupiah)
- 2,70
- 2,36
- 3,10
- 3,32
- 3,51
| Diketahui |
Untuk suatu perusahaan asuransi kerugian ABC, kerugian pada portofolio asuransi kecelakaan diri mempunyai informasi sebagai berikut :
- Banyaknya klaim berdistribusi poisson dengan rata-rata 2 kali per tahun
- Besarnya klaim pada satu kejadian sebesar 1, 2, atau 3 juta rupiah dengan peluang masing-masing sebesar \(\frac{1}{3}\)
- Besar kerugian ialah saling bebas dengan banyaknya kerugian, dan sebaliknya
Sebuah perjanjian asuransi melindungi kerugian dalam 1 tahun, dengan syarat aggregate dedutible tahunan sebesar 2 juta rupiah. |
| Rumus yang digunakan |
\({{p_n} = \Pr \left( {N = n} \right) = {f_N}\left( n \right),}\) \({{f_n} = \Pr \left( {X = n} \right) = {f_X}\left( n \right),}\) \({{g_n} = \Pr \left( {S = n} \right) = {f_s}\left( n \right)}\)
\(E\left[ {{{\left( {S – d} \right)}_ + }} \right] = E\left[ S \right] – E\left[ {S \wedge d} \right]\)
\(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right]\)
\(E\left[ {S \wedge d} \right] = h\sum\limits_{j = 0}^u {j{g_{hj}}} + d \cdot \Pr \left( {S \ge d} \right)\) dengan \(u = \frac{d}{h} – 1\) dan \(h\) faktor pengali
Distribusi Poisson
\({a = 0,}\) \({b = \lambda ,}\) \({{p_0} = {e^{ – \lambda }},}\) \({{g_k} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left( {\frac{{\lambda j}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} }\) |
| Proses pengerjaan |
Peluang aggregate loss sama dengan 0 atau 1
\({g_0} = {p_0} = \exp \left[ { – 2} \right] = 0.135335\)
\({g_1} = \sum\limits_{j = 1}^1 {\left( {\frac{{\lambda j}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} = \lambda {f_1}{g_0} = 2\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {\exp \left[ { – 2} \right]} \right) = 0.090224\)
Jadi peluang \(\Pr \left( {S \ge 2} \right) = 1 – 0.135335 – 0.090224 = 0.774441\) |
|
\(E\left( S \right) = E\left( N \right)E\left( X \right) = 2\left( 2 \right) = 4\)
\(E\left[ {S \wedge 2} \right] = 1 \cdot \sum\limits_{j = 0}^1 {j{g_{hj}}} + 2 \cdot \Pr \left( {S \ge 2} \right) = \left( 1 \right)\left( {0.090224} \right) + \left( 2 \right)\left( {0.774441} \right) = 1.639106\)
\(E\left[ {{{\left( {S – 2} \right)}_ + }} \right] = E\left[ S \right] – E\left[ {S \wedge 2} \right] = 4 – 1.639106 = 2.360894\) |
| Jawaban |
b. 2,36 |
