Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2018 |
| Nomor Soal | : | 9 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- Banyaknya klaim oleh individu dalam suatu tahun memiliki distribusi binomial dengan parameter \(m = 4\) dan \(q\)
- Distribusi prior dari \(q\) memiliki fungsi kepadatan peluang
\(\begin{array}{*{20}{c}} {\pi \left( q \right) = 6q\left( {1 – q} \right),}&{0 < q < 1} \end{array}\) - Sebanyak dua klaim terjadi di tahun tersebut
Tentukan modus dari distribusi posterior \(q\)
- 0,17
- 0,33
- 0,50
- 0,67
- 0,83
| Diketahui | - Banyaknya klaim oleh individu dalam suatu tahun memiliki distribusi binomial dengan parameter \(m = 4\) dan \(q\)
- Distribusi prior dari \(q\) memiliki fungsi kepadatan peluang
\(\begin{array}{*{20}{c}} {\pi \left( q \right) = 6q\left( {1 – q} \right),}&{0 < q < 1} \end{array}\) - Sebanyak dua klaim terjadi di tahun tersebut
|
| Rumus yang digunakan | Binomial: \(p\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m\\ x \end{array}} \right){q^x}{\left( {1 – q} \right)^{m – x}}\) Posterior: \(\pi \left( {\left. q \right|x} \right) = \frac{{p\left( {x,q} \right)}}{{p\left( x \right)}} = \frac{{p\left( {\left. x \right|q} \right)\pi \left( q \right)}}{{\int\limits_0^\infty {p\left( {x,q} \right)dq} }}\) |
| \(p\left( {\left. 2 \right|q} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right){q^2}{\left( {1 – q} \right)^{4 – 2}} = 6{q^2}{\left( {1 – q} \right)^2}\) |
| Proses pengerjaan | \(\pi \left( {\left. q \right|2} \right) = \frac{{p\left( {x,q} \right)}}{{p\left( x \right)}} = \frac{{p\left( {\left. x \right|q} \right)\pi \left( q \right)}}{{\int_0^\infty {p\left( {x,q} \right)dq} }}\)
\(\pi \left( {\left. q \right|2} \right) = \frac{{6{q^2}{{\left( {1 – q} \right)}^2}6q\left( {1 – q} \right)}}{{\int_0^\infty {p\left( {x,q} \right)dq} }} \propto {q^3}{\left( {1 – q} \right)^3}\) |
| Modus bisa dicari dengan melakukan derivatif sama dengan nol
\(\pi ‘\left( {\left. q \right|2} \right) = \frac{{d\pi \left( {\left. q \right|2} \right)}}{{dq}} \propto 3{q^2}{\left( {1 – q} \right)^3} – 3{q^3}{\left( {1 – q} \right)^2} = 0\)
\(3{q^2}{\left( {1 – q} \right)^3} = 3{q^3}{\left( {1 – q} \right)^2}\)
\(1 – q = q\)
\(q = 0.5\) |
| Jawaban | c. 0,50 |
