Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Gunakan informasi berikut untuk soal nomor 3 dan 4.
Waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan (the time to an accident) mengikuti distribusi eksponensial. Rata-rata waktu hingga terjadi sebuah kecelakaan dari sebuah sampel acak berukuran dua adalah 6. Misalkan Y adalah rata-rata dari sampel baru berukuran dua.
Gunakan metode delta untuk melakukan aproksimasi terhadap variansi dari taksiran maksimum likelihood dari \({F_Y}(10)\).
- 0,08
- 0,12
- 0,16
- 0,19
- 0,22
| Diketahui |
\(\hat \theta = 6.\) |
| Rumus yang digunakan |
- \(Var(\hat \theta ){\rm{ }} = Var(\bar X){\rm{ }} =\frac{{{\theta ^2}}}{n}\)
- \(Var({F_Y}(10)){\rm{ }} = Var(\hat \theta ){\left( {F{‘_Y}(10)} \right)^2}\)
|
| Proses pengerjaan |
Berdasarkan soal nomor 3 diketahui:
\({F_Y}(10){\rm{ }} = 1 – P(Y > 10){\rm{ }} = 1 – \frac{1}{\theta }{e^{ – 20/\theta }}(20 + \theta ).{\rm{ }}\)
untuk mencari variansi menggunakan delta method diperukan \(Var(\hat \theta )\) dan \({{F’}_Y}(10)\)
\(Var(\hat \theta ){\rm{ }} = Var(\bar X){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^2}}}{n}\)
\({{F’}_Y}(10) = \frac{d}{{dx}}{F_Y}(10){\rm{ }} = – {\rm{}}\frac{{400}}{{{\theta ^3}}}{e^{ – 20/\theta }}\)
sehingga
\(Var({F_Y}(10)){\rm{ }} = Var(\hat \theta ){\left( {F{‘_Y}(10)} \right)^2}\)
\(Var({F_Y}(10)){\rm{ }} = \frac{{{{\hat \theta }^2}}}{n}\left( { – {\rm{ }}\frac{{400}}{{{\theta ^3}}}{e^{ – 20/\theta }}} \right) = 0,0786 \approx 0,08\) |
| Jawaban |
A. 0,08 |
